소촌동 수학과외

“2개다”라는 답에서 놓친 조건

다음 문제에서 학생이 A={1, 2}의 부분집합 개수는 2개라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 이 답은 {1}, {2}처럼 원래 집합의 원소 하나만 고른 경우만 생각했을 가능성이 있습니다. 하지만 부분집합은 원소를 일부만 포함하는 집합뿐 아니라, 원소를 하나도 포함하지 않는 공집합과 원래 집합 전체도 포함합니다. 따라서 먼저 문제에서 요구하는 값이 특정 부분집합 두 개가 아니라, A에서 만들 수 있는 모든 부분집합의 개수라는 점을 확인해야 합니다.

어떤 판단에서 어긋났는지 확인하기

교사는 처음부터 계산 실수라고 단정하지 않고 “2개라고 생각한 이유가 무엇인지”, “1과 2를 각각 넣거나 빼는 경우를 모두 생각했는지”를 묻습니다. 학생이 부분집합의 뜻은 설명하지만 공집합이나 A 자체를 빼뜨렸다면 조건을 적용하는 과정에서 누락이 있었는지 살핍니다. 반대로 문제의 요구를 ‘원소가 하나인 부분집합’으로 읽었다면, 문장을 다시 읽고 구해야 하는 대상이 무엇인지부터 확인합니다. 설명하기 어려워하면 교사가 먼저 원소 1을 넣는 경우와 빼는 경우를 함께 적은 뒤, 원소 2에 대해서는 학생이 같은 방식으로 나누어 보게 합니다.

부분집합을 나열하고 다시 풀이하기

이제 처음의 답과 풀이를 가린 뒤 문제의 조건만 보고 다시 해결합니다. 원소가 1개인 부분집합은 {1}, {2}이고, 원소가 0개인 부분집합은 공집합 ∅입니다. 원소를 모두 포함하는 경우도 가능하므로 원소가 2개인 부분집합은 {1,2}입니다. 따라서 A의 부분집합은 ∅, {1}, {2}, {1,2}이고, 개수는 4개입니다. 학생은 ‘2개다’라고 판단했던 부분이 원소 하나를 고른 경우만 센 것이었음을 문제 조건과 연결해 설명하고, 공집합과 자기 자신도 부분집합에 포함된다는 점을 반영해 답을 고칩니다.

검산할 때는 같은 목록을 그대로 반복하기보다 각 원소를 넣거나 빼는 선택으로 확인합니다. 원소 1은 포함 또는 제외의 2가지, 원소 2도 포함 또는 제외의 2가지 선택이 있으므로 전체 경우의 수는 2×2=4입니다. 이 계산은 원소가 두 개인 집합에서 각 부분집합이 어떻게 만들어지는지 확인해 주며, 앞에서 나열한 네 집합과도 일치합니다. 학생이 풀이 순서를 따라 쓴 뒤에는 풀이와 정답을 가리고 다시 시작하게 하여, 단순히 표시한 것이 아니라 네 경우를 스스로 구성하는지 확인합니다.

새 조건에 적용하고 다음을 확인하기

이전 문제와 조건이 달라진 새 문제로 A={p, q, r}의 부분집합 중 원소가 0개 또는 3개인 것을 써 보게 합니다. 여기서는 모든 부분집합의 개수를 구하는 것이 아니라, 원소 수가 0개 또는 3개인 경우만 골라야 합니다. 원소가 0개인 것은 공집합 ∅이고, 원소가 3개인 것은 A 자신인 {p,q,r}이므로 답은 ∅와 A입니다. 학생이 두 경우를 빠뜨리지 않고 고르는지, 0개를 ‘부분집합이 없음’으로 잘못 읽지 않는지를 확인합니다. 이어서 공집합의 부분집합 개수를 묻는 비교 문제를 선택할 수 있습니다. 공집합에는 원소가 없지만 공집합 자신이 부분집합이므로 개수는 1개이며, 2⁰=1과도 맞습니다. 다음 수업에서는 학생이 풀이와 정답을 가린 상태에서 부분집합을 다시 구성하고, 왜 공집합과 자기 자신을 포함하는지 설명한 뒤 새로운 원소 수에도 같은 판단을 적용하는지를 확인합니다.