차암동 수학과외

사탕 20개와 연필 28개의 대표 문제

다음 문제에서 학생이 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “사탕이 20개이므로 20명입니다.” 문제는 사탕 20개와 연필 28개를 최대한 많은 학생에게 종류별로 똑같이, 남김없이 나누는 상황입니다. 따라서 구해야 하는 것은 사탕의 개수 자체가 아니라 두 종류를 모두 나눌 수 있는 학생 수의 최댓값입니다. 한 학생에게 사탕과 연필을 각각 몇 개씩 줄지는 학생 수를 정한 뒤에 계산할 값입니다.

20명을 선택하면 사탕은 한 명당 1개씩 나눌 수 있지만, 연필 28개는 20명에게 똑같이 나누어지지 않아 남습니다. 즉, 적은 물건의 수를 학생 수로 정한 것은 ‘모든 물건을 남김없이 나눈다’는 조건을 사탕에만 적용하고 연필에는 적용하지 않은 판단입니다. 이 문제에서 필요한 학생 수는 20과 28을 모두 나누어 나머지가 0이 되게 하는 수이며, 그중 가장 큰 수입니다.

오답의 이유를 구분하는 확인

교사는 처음부터 학생의 답을 외워서 틀렸다고 단정하지 않고, “20명을 정하면 연필 28개를 한 명씩 똑같이 나눌 수 있을까?”, “학생 수를 정할 때 한 종류의 개수만 보면 될까, 두 종류를 모두 확인해야 할까?”라고 묻습니다. 학생이 ‘적은 개수이므로 가장 많이 나눌 수 있다’고 생각했다면 조건 해석을 먼저 다시 봅니다. 반대로 ‘두 수를 모두 나누는 수를 찾아야 한다’는 뜻은 알고도 28을 20으로 나누는 과정에서 잘못 계산했다면 계산 과정을 살핍니다.

나눗셈에서 나머지가 0이라는 조건은 두 물건이 모두 소진되는지를 확인하게 합니다. 20을 나누는 수이면서 28도 나누는 수를 찾아야 하므로, 이번 문제에서는 공통으로 나누어지는 수 가운데 가장 큰 수를 구해야 합니다. 이 개념을 말로 설명하기 어려우면 교사가 20명일 때 연필이 남는 장면을 함께 계산해 보이고, 이어서 ‘그럼 학생 수를 줄이면서 두 종류 모두 나누어지는 수를 찾아 보자’고 다음 판단을 학생이 이어 가게 돕습니다.

최대공약수로 고친 풀이와 학생의 재시도

20과 28의 공약수를 살펴보면 1, 2, 4가 있고, 이 중 가장 큰 수는 4입니다. 따라서 최대공약수는 4이고, 최대한 많은 학생에게 나눌 때의 학생 수는 4명입니다. 여기서 4는 물건의 개수가 아니라 두 종류를 모두 남김없이 나누는 학생 수를 뜻합니다. 학생 수를 구한 뒤 사탕은 20÷4=5이므로 한 명당 5개, 연필은 28÷4=7이므로 한 명당 7개입니다.

교사가 공약수의 뜻과 계산 일부를 함께 확인한 뒤에는 문제와 조건은 보이되 앞서 쓴 풀이와 정답은 가리고 학생이 다시 시작하게 합니다. 학생은 처음의 ‘적은 물건 수인 20명’이라는 판단을 ‘두 물건의 개수를 모두 나누어 나머지가 0이 되는 학생 수 중 가장 큰 수를 찾아야 한다’로 바꾸어 말하고, 20과 28의 공약수를 확인합니다. 막히면 교사는 20의 약수나 28의 약수 중 한쪽을 짧게 예로 보여 주고, 공통으로 겹치는 수를 찾는 과정과 가장 큰 수를 고르는 과정은 학생이 이어서 시도하도록 도움을 조절합니다.

검산과 새 조건에서의 적용

구한 학생 수 4명이 조건에 맞는지는 풀이를 그대로 반복하지 않고 나눗셈의 결과로 확인합니다. 20÷4=5, 28÷4=7로 두 나눗셈 모두 나머지가 0입니다. 또는 4×5=20, 4×7=28로 확인하면 사탕과 연필이 각각 모두 소진되고, 한 명에게 돌아가는 수량도 종류별로 같습니다. 학생이 이 근거를 설명하지 못하면 개념이 어려운지, 나눗셈이나 곱셈 계산에서 막혔는지 살펴본 뒤 필요한 부분만 다시 안내합니다.

새 적용 문제로 사탕 32개와 과자 48개를 최대한 많은 사람에게 종류별로 같은 개수씩 남김없이 나누는 상황을 제시할 수 있습니다. 이번에도 두 수를 모두 나누는 사람 수의 최댓값을 구해야 하므로 32와 48의 최대공약수를 찾습니다. 최대공약수는 16이므로 16명에게 나눌 수 있고, 한 명당 사탕은 32÷16=2개, 과자는 48÷16=3개입니다. 이전 문제와 숫자와 물건의 종류는 달라졌지만, ‘모든 종류를 나머지 없이 나누는 최대 인원’을 구한다는 판단은 같습니다.

필요하다면 최소공배수와 혼동하는지 확인하기 위해 18과 27의 최소공배수를 비교 자료로 사용할 수 있습니다. 최대공약수는 9이고, 최소공배수는 18×27÷9=54입니다. 따라서 최소공배수가 언제나 두 수의 곱이라는 설명은 맞지 않습니다. 먼저 학생이 새 적용 문제의 풀이와 정답을 가리고 다시 해결하면서 최대공약수의 의미와 한 명당 수량을 근거와 함께 설명하는지 확인하고, 이후에는 나누는 상황과 배수를 찾는 상황을 구분해 적용하는지를 다음 확인 내용으로 삼습니다.