불당동 수학과외

대표 문제에서 드러난 오해

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “삼각형 내심 I에서 변 AB까지 수직거리가 3cm다. 변 AC까지 수직거리는?” 학생은 “변 길이를 알아야 한다.”라고 적었습니다. 이 답은 변의 길이를 계산하는 문제가 아니라, 내심에서 각 변까지 내린 수선의 길이가 어떤 관계를 갖는지 판단해야 하는 문제라는 점을 놓친 것입니다.

먼저 문제에서 주어진 대상이 꼭짓점이 아니라 삼각형의 내심 I라는 점을 확인합니다. 외심은 세 꼭짓점까지의 거리가 같은 점이지만, 내심은 세 각의 이등분선이 만나는 점이며 각 변에 내린 수선의 길이가 같습니다. 따라서 AB의 길이나 AC의 길이를 별도로 알아야 한다고 바로 결론 내릴 수는 없습니다.

어느 판단에서 달라졌는지 확인하기

교사는 학생의 답을 곧바로 단순 계산 실수라고 정하지 않고, “변 길이가 필요하다고 생각한 이유가 무엇인지”, “I에서 AB까지의 거리는 어떤 선분으로 재었는지”를 차례로 묻습니다. 학생이 개념을 말로 설명하기 어렵다면 내심과 외심의 차이를 짧게 정리한 뒤, 다시 대표 문제의 조건으로 돌아옵니다.

이때 확인할 핵심은 거리의 대상과 측정 방법입니다. 외심에서는 꼭짓점까지의 거리를 비교하지만, 이 문제에서는 내심에서 각 변에 수직으로 내린 거리를 비교합니다. 학생이 ‘변의 길이’와 ‘점에서 변까지의 수직거리’를 같은 종류의 값처럼 생각했다면, 교사는 AB의 길이를 구하는 것이 질문에 필요한지, 아니면 내심의 성질을 적용해야 하는지를 함께 구분합니다.

교사의 설명 뒤 학생의 수정 풀이

교사는 먼저 “내심 I는 세 각의 이등분선이 만나는 점이고, 내접원의 중심이다. 내접원은 세 변에 접하므로 중심에서 각 변에 내린 수선은 모두 내접원의 반지름이다.”라고 설명합니다. 여기서 AB까지의 수직거리가 3cm라는 말은 내접원의 반지름이 3cm라는 뜻입니다. 내심에서 AC까지 내린 수선도 같은 반지름이므로 길이는 3cm입니다.

필요한 부분을 함께 확인한 뒤, 학생은 처음의 “변 길이를 알아야 한다.”라는 판단을 바꾸어 풀이를 다시 씁니다. “I는 삼각형의 내심이므로 각 변까지의 수직거리는 같다. AB까지의 수직거리가 3cm이므로 AC까지의 수직거리도 3cm이다.” 이처럼 주어진 3cm가 변의 길이가 아니라 내접원의 반지름이라는 점과, 같은 값을 적용하는 조건을 문제의 문장과 연결해 답을 구합니다.

수업에서는 학생이 풀이를 그대로 베껴 쓰는지보다, 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 삼각형과 내심, 각 변까지의 수직거리라는 조건만 보고 다시 해결하는지를 확인합니다. 혼자 이어 가지 못하면 개념 설명이 필요한지, 아니면 ‘수직거리’의 의미를 식으로 옮기는 과정에서 막혔는지 살펴보고 도움의 정도를 조절합니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

검산할 때는 같은 문장을 반복하기보다 내접원의 반지름이라는 의미를 다시 확인합니다. 한 변까지의 수직거리가 3cm라면 내접원은 그 변에 접하고, 중심 I에서 접점까지의 반지름도 3cm입니다. 같은 원이 다른 두 변에도 접하므로 다른 두 변까지의 수직거리 역시 각각 3cm가 됩니다. 이는 처음 계산한 답이 내심의 위치와 내접원의 조건에 맞는지 확인하는 과정입니다.

새롭게 “삼각형의 내심 I에서 한 변에 내린 수선의 길이가 3cm다. 다른 두 변까지의 수직거리는?”라고 물으면, 기본 문제와 달리 두 변을 모두 답해야 합니다. 학생은 앞의 풀이와 정답을 가린 채 문제의 조건만 보고, 한 변까지의 수직거리가 내접원의 반지름임을 이용해 두 값이 각각 3cm라고 답합니다.

추가로 내심에서 한 변 위의 아무 점까지의 거리가 모두 같은 것은 아니라는 점도 비교할 수 있습니다. 한 변까지의 수직거리가 2이고 수선의 발에서 3만큼 떨어진 변 위의 점을 생각하면, 내심에서 그 점까지의 거리는 직각삼각형의 빗변이므로 √(2²+3²)=√13입니다. 따라서 같은 거리가 되는 것은 각 변에 내린 수선의 길이이며, 변 위의 모든 점까지의 거리는 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 새 적용 문제를 스스로 풀고, 왜 3cm를 그대로 사용할 수 있는지 설명하는지를 확인합니다.