차암지구 수학과외

대표 문제와 처음의 오답

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “공정한 동전을 서로 독립적으로 두 번 던질 때, 모두 앞면일 확률은?” 학생은 “앞면이 둘 중 하나라서 1/2이다.”라고 답했습니다. 공정한 동전에서 한 번 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 1/2라는 사실은 맞지만, 이 문제에서 구하는 것은 두 번 모두 앞면일 확률입니다. 한 번의 결과를 묻는지, 두 시행이 모두 조건을 만족해야 하는지를 먼저 구분해야 합니다.

두 번의 결과를 순서까지 고려하면 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤 네 가지가 가능합니다. 그러나 이 문제의 조건을 만족하는 결과는 그중 앞앞 하나뿐입니다. 따라서 “앞면이 둘 중 하나”라는 표현만으로 1/2을 정하는 것은 두 번째 던지기의 결과까지 반영하지 않은 판단입니다. 이 오답만 보고 계산 실수라고 단정하지 않고, 학생이 문제의 ‘모두’라는 말을 놓쳤는지, 독립인 두 시행의 확률을 곱해야 한다는 개념을 모르는지 차례로 확인합니다.

어느 단계에서 판단이 어긋났는지 확인하기

교사는 먼저 “첫 번째 동전이 앞면이고 두 번째가 뒤면, ‘모두 앞면’에 포함될까요?”라고 묻습니다. 학생이 포함되지 않는다고 판단한다면 문제의 요구는 어느 정도 읽은 것이므로, 이제 두 번의 조건을 함께 계산하는 방법을 확인합니다. 반대로 ‘앞면이 둘 중 하나’라는 말을 ‘두 번 중 한 번만 앞면이면 된다’는 뜻으로 이해했다면, ‘모두 앞면’과 ‘적어도 한 번 앞면’이 서로 다른 조건임을 짚습니다.

학생이 이유를 바로 설명하지 못해도 교사가 한 단계씩 함께 살필 수 있습니다. 첫 번째 시행의 앞면 확률은 1/2이고, 첫 번째 결과와 관계없이 두 번째 시행의 앞면 확률도 1/2입니다. 여기서 독립이라는 조건은 첫 번째 결과를 알고 나서도 두 번째 앞면 확률이 달라지지 않는다는 뜻으로 사용됩니다. 그러므로 두 조건이 동시에 성립할 확률은 각 시행의 확률을 곱해 계산합니다.

설명 뒤 학생의 수정 풀이

교사는 먼저 식을 대신 완성해 주기보다 “첫 번째 던지기에서 어떤 결과가 필요하고, 두 번째 던지기에서도 어떤 결과가 필요한가?”를 적게 합니다. 학생은 첫 번째에 앞면이 나올 확률을 1/2, 두 번째에도 앞면이 나올 확률을 1/2로 적습니다. 두 시행이 서로 독립이고 두 조건이 모두 필요하므로 1/2 × 1/2 = 1/4라고 계산합니다.

이때 1/4은 한 번의 동전에서 앞면이 나올 확률이 아니라, 두 번의 결과가 모두 앞면일 확률입니다. 학생은 처음의 1/2을 그대로 고치는 데 그치지 않고, “처음에는 한 번의 앞면 확률만 사용했지만, 지금은 두 시행이 모두 앞면이어야 하므로 두 확률을 곱했다.”라고 문제 조건과 연결해 설명합니다. 풀이와 정답을 가린 뒤 같은 대표 문제를 다시 제시하면, 학생이 앞면 확률 두 개를 적고 곱셈까지 이어 가는지 확인할 수 있습니다. 다른 풀이로 네 가지 결과를 나누어 앞앞 하나를 세어 1/4이라고 해도, 네 결과가 같은 확률이라는 조건을 올바르게 사용했다면 인정할 수 있습니다.

검산과 새 조건에 적용하기

검산은 같은 곱셈을 반복하기보다 결과를 직접 확인하는 방식으로 진행합니다. 두 번의 결과를 앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤로 나누어 보면 모두 가능한 결과는 네 가지이고, 그중 문제의 조건인 ‘모두 앞면’을 만족하는 것은 앞앞 하나입니다. 따라서 답 1/4이 조건과 일치합니다. 학생이 이 과정을 혼자 시작하지 못한다면 개념 설명이 필요한지, 네 가지 결과를 세는 과정에서 막혔는지 살펴보고 도움의 양을 조절합니다.

다음에는 공정한 동전을 서로 독립적으로 세 번 던져 모두 앞면일 확률을 묻습니다. 이번에는 앞면 확률 1/2를 세 번 곱하므로 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/8입니다. 세 번의 결과는 모두 2³=8가지이고, 그중 앞앞앞 하나가 조건을 만족한다는 점으로도 확인할 수 있습니다. 추가로 앞면 확률이 3/4인 동전을 독립적으로 두 번 던지는 경우에는 3/4 × 3/4 = 9/16이므로, 공정한 동전의 1/2을 조건 확인 없이 사용할 수 없습니다. 이후에는 새 문제의 수치와 조건을 보여 주고 이전 풀이와 정답을 가린 상태에서, 학생이 ‘각 시행의 필요한 확률을 정한 뒤 곱한다’는 판단을 스스로 적용하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.