차암동 중등수학과외

공정한 동전과 공정한 주사위를 독립적으로 던진다. 앞면이거나 주사위가 짝수일 확률은 얼마일까? 차암동중등수학과외 수업에서는 이 새 문제를 먼저 제시하고, ‘앞면이거나 짝수’라는 조건에서 성공 결과가 겹칠 수 있다는 점을 남겨 둔 채 학생의 판단을 확인한다.

‘또는’ 조건에서 성공 결과를 세는 장면

학생은 앞면이 나오는 경우 6개와 주사위가 짝수인 경우 6개를 각각 적었다. 이어 두 수를 더해 성공 결과가 12개라고 말하려는 순간, 교사는 “앞면이면서 짝수인 결과는 몇 번 들어갔을까?”라고 물었다. 학생은 앞면과 짝수가 서로 다른 시행에서 나온 결과라서 따로 세어야 한다고 답했다. 그러나 앞면과 짝수가 동시에 나타나는 결과도 있으므로, 두 조건을 단순히 더하면 일부 결과를 두 번 세게 된다.

교사는 학생의 계산을 바로 고쳐 주지 않고, “(앞,2)처럼 두 결과를 한 쌍으로 적을 수 있을까?”라고 짧게 확인했다. 학생은 동전 결과와 주사위 결과를 함께 나타낼 수 있다는 점에는 고개를 끄덕였지만, 처음 풀이에는 그런 기록이 없었다. 따라서 오답 하나만으로 확률 개념 전체를 모른다고 판단하지 않고, 말로 설명한 내용과 실제로 적은 첫 계산이 어디에서 어긋났는지 비교했다. 처음 달라진 판단은 서로 다른 표본공간의 결과를 하나의 결과로 묶어 세지 않은 것이었다.

대표 문제에서 순서쌍을 기록하기

교사는 공정한 동전 한 개와 1부터 6까지가 같은 확률로 나오는 주사위 한 개를 서로 독립적으로 던지는 문제로 돌아갔다. 이번에는 “두 시행의 결과를 한 묶음으로 적어 보자”라고만 안내했다. 학생은 전체 결과를 동전의 앞면·뒷면 2가지와 주사위의 1~6 6가지를 조합해 2×6=12개라고 기록했다.

학생은 성공 조건인 ‘동전은 앞면이고 주사위는 짝수’를 만족하는 순서쌍을 직접 골랐다. 성공 결과는 (앞,2), (앞,4), (앞,6) 세 개였다. 따라서 확률은 3/12=1/4이다. 처음에는 “같은 종류가 아니므로 구할 수 없다”고 했지만, 수정한 풀이에서는 두 시행의 결과를 한 쌍으로 기록한 뒤 조건에 맞는 경우만 골라냈다. 교사는 이어지는 식을 대신 완성하지 않고, 학생이 세 성공 결과와 전체 열두 결과의 의미를 말로 설명하게 했다.

곱셈으로 독립 시행을 검산하기

순서쌍의 개수만 다시 세는 방식과 다른 검산도 진행했다. 앞면이 나올 확률은 1/2이고, 주사위가 짝수일 확률은 3/6이다. 두 시행은 독립이므로 두 조건이 동시에 성립할 확률은 (1/2)×(3/6)=1/4이다. 순서쌍으로 구한 값과 독립 시행의 곱으로 구한 값이 같으므로, 대표 문제의 답은 1/4로 확인된다. 이 검산은 12개 결과를 다시 나열하는 대신 각 시행의 확률을 곱해 본다는 점에서 처음 풀이와 다른 확인 방법이다.

조건을 ‘또는’으로 바꾼 적용 문제

이제 같은 동전과 주사위를 독립적으로 던지되, 조건을 ‘앞면이고 짝수’에서 ‘앞면이거나 주사위가 짝수’로 바꾼다. 학생은 앞면인 순서쌍 6개와 짝수인 순서쌍 6개를 적은 뒤, 공통인 (앞,2), (앞,4), (앞,6) 세 개가 두 묶음에 모두 포함되었다고 표시했다. 따라서 성공 결과는 6+6−3=9개이고 확률은 9/12=3/4이다.

학생은 겹친 세 결과를 한 번만 세어야 하는 이유를 설명한 뒤, 실패 결과를 이용해 확인했다. 실패는 뒷면이면서 홀수인 세 결과인 (뒤,1), (뒤,3), (뒤,5)이므로 실패 확률은 3/12이다. 그러면 성공 확률은 1−3/12=3/4로 일치한다. 다음 수업에서는 원래 동전·주사위 문제의 풀이 부분을 가린 자료를 주고, 학생이 도움 없이 두 결과를 한 묶음으로 기록한 뒤 조건에 맞는 순서쌍을 표시하게 한다. 정답뿐 아니라 “표본공간은 서로 다른 시행의 결과도 순서쌍으로 구성할 수 있다”는 근거를 혼자 말하고, 완성한 풀이를 독립 시행의 곱으로 검산하는지도 확인한다.