성환생활권 수학과외

평균들의 평균이 항상 전체 평균은 아닌 이유

다음 문제에서 학생이 “평균들의 평균은 70점이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 5명의 평균이 60점이고, 15명의 평균이 80점일 때 두 집단을 합친 전체 평균을 구하는 것입니다. 60점과 80점만 보고 두 수의 평균을 계산하면 70점이지만, 두 집단의 인원수가 같다는 조건은 문제에 없습니다. 5명과 15명은 집단의 크기가 다르므로 각 평균이 전체 결과에 미치는 비중도 달라집니다.

교사는 먼저 “60점은 몇 명의 평균인가요?”, “80점은 몇 명의 평균인가요?”라고 묻고, 평균을 점수의 합과 연결해 보게 합니다. 평균은 각 점수의 합을 자료의 개수로 나눈 값이므로, 집단별 평균에 해당 집단의 인원수를 곱하면 그 집단의 총점을 구할 수 있습니다. 이 문제에서 5명의 총점은 5×60, 15명의 총점은 15×80으로 나타냅니다. 가운데 위치의 값을 찾는 중앙값이나 가장 많이 반복된 값을 찾는 최빈값과도 구별해야 합니다.

오답이 나온 판단을 문제 조건과 함께 확인하기

70점이라는 답이 틀렸다는 사실과 학생이 왜 그렇게 계산했는지는 나누어 살펴봅니다. 학생이 평균의 뜻은 말로 설명하지만 두 평균을 바로 더해 2로 나누었다면, 개념 전체를 모른다기보다 집단별 인원수를 계산에 반영하지 않은 것일 수 있습니다. 반대로 평균, 중앙값, 최빈값의 의미를 혼동한다면 먼저 짧은 예로 각각 무엇을 구하는지 확인한 뒤 대표 문제로 돌아옵니다.

학생이 이유를 바로 설명하지 못해도 교사가 한 단계씩 함께 살필 수 있습니다. “두 집단의 점수를 모두 합친 뒤 몇 명으로 나누어야 하나요?”라고 질문하고, 학생이 막히면 5명 집단의 총점 300점만 먼저 계산해 보입니다. 그다음 15명 집단의 총점과 전체 인원수를 학생이 이어서 구하도록 돕습니다. 이렇게 하면 단순히 답을 고치는 것이 아니라, 어느 조건이 식에 들어가야 하는지 다시 판단할 수 있습니다.

인원수를 반영해 수정 풀이하고 검산하기

학생은 처음의 “평균들의 평균 70점”이라는 판단을 바꾸어, 각 평균을 총점으로 바꾼 뒤 전체 인원수로 나누는 식을 세웁니다. 5명의 총점은 5×60=300점이고, 15명의 총점은 15×80=1200점입니다. 따라서 전체 총점은 300+1200=1500점, 전체 인원수는 5+15=20명입니다. 그러므로 전체 평균은 (5×60+15×80)÷20=1500÷20=75점입니다. 80점인 학생이 더 많은 집단에 속해 있으므로 전체 평균이 60점과 80점의 단순한 가운데값보다 높은 75점이 되는 것도 결과를 이해하는 데 도움이 됩니다.

검산할 때는 같은 식을 기계적으로 반복하지 않고, 계산한 총점과 전체 인원수를 다시 확인합니다. 5명의 평균이 60점이면 300점, 15명의 평균이 80점이면 1200점이므로 두 집단을 합친 총점은 1500점입니다. 이를 실제 전체 인원 20명으로 나누면 75점이 됩니다. 풀이 순서를 가린 뒤 학생이 문제의 조건만 보고 다시 식을 세우는지, 각 수가 무엇을 뜻하는지 설명하는지 확인합니다. 혼자 풀지 못하면 개념 설명이 더 필요한지, 곱셈이나 나눗셈 계산에서 막혔는지에 따라 도움의 양을 조절합니다.

새로운 집단 크기에도 적용해 보기

새 문제로 3명의 평균이 80점이고 다른 2명의 평균이 65점일 때 전체 평균을 구해 보겠습니다. 이번에는 집단의 인원수가 3명과 2명으로 달라졌습니다. 이전 풀이의 핵심인 ‘평균에 인원수를 곱해 총점을 구한 뒤 전체 인원수로 나눈다’는 방법은 그대로 적용할 수 있습니다. 3명의 총점은 3×80=240점, 2명의 총점은 2×65=130점이므로 전체 총점은 370점입니다. 전체 5명으로 나누면 370÷5=74점입니다.

추가로 1명의 평균 50점과 3명의 평균 90점을 합친 경우를 비교할 수 있습니다. 총점은 50+270=320점이고 인원수는 4명이므로 전체 평균은 80점입니다. 50점과 90점의 단순 평균인 70점이 아니라, 90점 집단의 인원이 더 많다는 조건을 반영해야 합니다. 다음 수업에서는 학생이 수정 풀이와 정답을 가린 상태에서 새 문제를 다시 해결하고, 집단 크기가 바뀌어도 같은 방법을 적용할 수 있는지와 계산 근거를 말로 설명하는지를 확인합니다.