청학지구 고등수학과외

검산 결과가 예시 오답과 어긋난 지점

집합의 연산을 공부하다가 다음과 같이 판단했다고 해 보자. A={1,2}일 때 ∅∈A와 ∅⊂A의 참·거짓을 묻는 문제에서 “공집합은 모든 집합에 속하므로 둘 다 참”이라고 답했다면, 두 기호의 차이를 먼저 확인해야 한다. A의 원소 목록에는 1과 2만 적혀 있고 집합 기호 ∅는 없다. 따라서 ∅∈A는 거짓이다. 반면 ∅⊂A는 공집합의 모든 원소가 A에 속하는지를 묻는 문장이다. 공집합에는 원소가 없으므로 A에 속하지 않는 원소를 찾을 수도 없고, 부분집합의 정의에 맞아 참이다. 공집합이 어떤 집합의 원소라는 말과 공집합이 그 집합의 부분집합이라는 말은 같은 뜻이 아니다.

원소와 부분집합을 나누어 확인하는 질문

이렇게 답했다면 곧바로 개념을 하나로 단정하지 않고, “A의 두 원소 중 공집합 자체가 있는가?”라고 물어 확인한다. 학생은 A={1,2}를 다시 쓰고 원소마다 소속 여부를 직접 표시한다. ∅가 목록에 있는지 살피는 것은 ∈를 확인하는 과정이다. 다음으로 “∅의 원소 중 A에 속하지 않는 것이 있는가?”를 묻고, 공집합에는 비교할 원소가 없음을 적는다. ‘공집합은 모든 집합의 부분집합이다’라는 문장과 ‘공집합이 A의 원소이다’라는 문장을 나란히 놓되, 각각 어떤 정의를 쓰는지 학생이 구분해 기록하게 한다. 만약 두 문장을 모두 소속 기호로 읽었다면 원소와 집합을 혼동한 가능성이 있고, 조건문의 범위를 잘못 읽었다면 ‘모든 원소’가 가리키는 대상을 다시 표시하게 한다.

수정 풀이를 직접 쓰고 조건을 바꾸어 대조하기

교사의 첫 설명을 가린 뒤 학생이 직접 “∅는 A의 원소가 아니므로 ∅∈A는 거짓이다. ∅의 원소는 없으므로 A 밖의 원소도 없고, 따라서 ∅⊂A는 참이다”라고 작성하게 한다. 이어 A={1,2}에서 1∈A와 {1}⊂A를 판단한다. 여기서는 1은 A의 원소이고, {1}의 유일한 원소 1도 A에 속하므로 둘 다 참이다. 앞 문제의 ∅를 1로 바꾼 것은 표현만 달라진 것이 아니라 원소의 존재 조건이 바뀐 경우다. 문제와 조건만 남겨 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 먼저 스스로 판단하게 하고, 원소 목록과 부분집합 정의를 따로 적용해 대조한다. 마지막으로 교사는 ∅∈A의 식과 이유를 다시 가린 채 쓰게 하며, 기호만 보고 막히면 A의 원소를 하나씩 적고 각 대상의 소속 여부를 표시하게 한다. 이렇게 하면 정답인 ∅∈A: 거짓, ∅⊂A: 참을 단순 암기가 아니라 정의와 목록의 비교로 확인할 수 있다.