화명동 수학과외

두 항의 차를 항 번호로 바로 나누면 생기는 오류

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. “등차수열의 2번째 항이 5이고 5번째 항이 14일 때 공차는?” 학생이 (14-5)÷5=1.8이라고 계산했다면, 값의 차인 9를 구한 뒤 5번째 항의 번호로 나눈 판단이 들어간 것입니다. 하지만 문제에서 5는 항의 값이 아니라 2번째 항의 값이고, 14는 5번째 항의 값입니다. 두 값 사이에서 공차가 더해지는 횟수는 5번이 아니라 항 번호의 차인 5-2=3번입니다. 따라서 이 오답만으로 계산 실수라고 단정하기보다, 학생이 두 항의 번호와 실제로 더한 횟수를 어떻게 연결했는지 확인할 필요가 있습니다.

항 번호와 실제 간격을 다시 확인하는 과정

교사는 먼저 “2번째 항에서 5번째 항까지 공차를 몇 번 더해야 할까?”라고 묻고, 학생이 바로 답하기 어렵다면 항을 순서대로 적어 보게 합니다. 2번째 항에서 3번째 항으로 한 번, 4번째 항으로 두 번, 5번째 항으로 세 번 이동하므로 간격 수는 5-2=3입니다. 이어서 14-5=9는 세 간격 동안 증가한 전체 양이라고 설명합니다. 등차수열에서는 인접한 항 사이의 차가 일정하므로, 이 문제의 공차는 전체 증가량을 간격 수로 나눈 값입니다. 따라서 식은 (14-5)÷(5-2)=9÷3=3이 됩니다. 첫항에서 n번째 항까지 공차를 더하는 횟수가 n-1번이라는 개념도 이 문제에서는 2번째 항과 5번째 항의 차가 세 번이라는 점으로 연결해 이해할 수 있습니다.

학생이 수정한 풀이와 조건에 맞춘 검산

설명을 들은 뒤 학생은 처음의 “5로 나눈다”는 판단을 “두 항 번호의 차인 3으로 나눈다”로 고쳐 문제를 다시 풉니다. 5번째 항의 값에서 2번째 항의 값을 빼서 9를 구하고, 그 증가가 세 간격에 걸쳐 일어났으므로 9÷3=3이라고 적어 공차를 3으로 결론 내립니다. 이후 풀이와 정답을 가린 상태에서 문제의 조건만 보고 다시 시작하게 하여, 간격 수를 먼저 정하는지 확인할 수 있습니다. 이때 혼자 막히면 개념 설명이 필요한지, 나눗셈 계산에서 막힌 것인지 구분해 도움을 조절합니다. 다른 방식으로 풀더라도 두 항 사이의 간격이 세 개이고 계산 결과가 조건과 맞으면 같은 풀이로 인정할 수 있습니다.

검산은 같은 식을 반복하는 대신 공차 3을 실제 항에 적용해 확인합니다. 2번째 항이 5라면 다음 항은 8, 그다음은 11, 5번째 항은 14가 됩니다. 5에서 시작해 세 번 3을 더한 결과가 14이므로, 공차 3은 주어진 두 항의 관계와 일치합니다. 다만 이 확인은 해당 등차수열의 조건에서 공차가 일정하다는 전제에 따른 것이며, 모든 수열에 같은 방식이 적용된다는 뜻은 아닙니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 적용 문제는 “등차수열에서 a₃=8, a₇=20일 때 공차는?”입니다. 이번에는 3번째 항에서 7번째 항까지 네 간격이 있고, 값은 12만큼 늘었습니다. 그러므로 공차는 (20-8)÷(7-3)=12÷4=3입니다. 이전 문제와 숫자는 달라졌지만, 두 항의 값의 차를 항 번호의 차로 나눈다는 판단은 그대로 사용할 수 있습니다. 추가로 12÷7이라고 계산하는 경우에는 7이 항의 번호일 뿐 간격 수가 아니라는 점을 다시 비교해 볼 수 있습니다. 다음 수업에서는 새 문제의 풀이와 정답을 가린 뒤 학생이 간격 수를 먼저 정하고, 왜 그 수로 나누었는지 설명하는지 확인합니다. 결과를 맞혔는지만 보지 않고, 바뀐 조건에서도 같은 판단을 근거 있게 적용하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.