화명동 고등수학과외

“모집단 100명, 표본 1000명”이라는 답에서 출발하기

어떤 학교 재학생 1000명의 통학거리 평균을 알아보려고 그중 무작위로 100명을 뽑았고, 표본평균이 2.4km였다고 하자. 이때 예시 답안에 “모집단 100명, 표본 1000명이며 모평균은 정확히 2.4”라고 적혀 있다면, 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 문장 전체를 곧바로 틀렸다고 단정하지 않고 범위와 기호부터 확인한다. 먼저 “조사하려는 전체와 실제 조사한 사람을 뒤바꾸지 않았는가?”라고 묻고, 문제에서 목표로 삼은 전체 인원과 실제 측정한 인원을 각각 표시하게 한다. 목표 전체는 학교 재학생 1000명이고, 실제 조사한 표본은 무작위로 뽑은 100명이다.

표본평균 2.4와 모평균을 구별해 직접 고치기

학생이 1000과 100을 문제의 어느 대상에 연결했는지 직접 표시한 뒤, 모집단에는 전체 재학생 1000명, 표본에는 조사한 100명을 적는다. 이어 2.4km 옆에 ‘표본평균’이라고 표시한다. 표본평균과 표본비율은 뽑힌 표본에 따라 달라질 수 있으므로, 2.4km는 모평균을 추정하기 위한 값이지 모평균과 같다고 확정할 수 있는 값은 아니다. 교사는 목표 전체 1000명과 관측한 100명을 나누어 첫 비교까지만 제시하고, 학생이 어느 쪽이 모집단인지와 표본평균이 무엇을 뜻하는지 직접 문장으로 완성하게 한다. 표본을 다르게 뽑으면 평균이 달라질 수 있다는 점을 작은 반례로 확인하되, 한 번의 수치 대입만으로 전체 성질을 판단하지 않도록 한다. 무작위 추출은 추정 절차의 조건이며, 표본평균 하나가 참값을 보증한다는 뜻은 아니다.

조건을 남긴 독립 재적용으로 대표성 점검하기

수정한 답은 “모집단은 재학생 1000명, 표본은 무작위로 조사한 100명이며, 2.4km는 표본평균이므로 모평균을 추정하는 값이다. 모평균이 정확히 2.4km라고 확정할 수는 없다”가 된다. 신뢰구간을 말할 때도 지정된 모집단과 추출 조건 안에서 절차가 반복될 때의 성질을 해석해야 하며, 표본평균과 모평균을 같은 값으로 바꾸어 쓰지 않는다.

다음에는 문제의 목표와 조건만 남긴다. 전체 1000명의 통학거리 평균을 추정하려는데 자전거 동아리 학생 200명만 조사했다면, 표본 수가 크다는 이유만으로 전체의 임의표본이라고 할 수 있는가? 학생은 먼저 “표본 크기와 추출 틀은 별개의 조건”이라고 적고, 동아리 밖 학생은 선택되지 않는 구조임을 근거로 든다. 따라서 특정 동아리에 한정된 표본은 전체의 임의표본이 아니며, 전체 학생 명단에서 무작위로 추출하도록 조사 설계를 바꾸어야 한다. 마지막으로 대표 문제의 식·범위·자료만 남기고 풀이와 정답을 가린 상태에서, 모집단·실제 표본·알려진 모수·추정할 모수를 각각 구분해 다시 풀이하게 한다. 결과를 단정하려는 문장이 나오면 표본평균과 참값을 대조하고, 무작위 추출 조건이 실제로 남아 있는지 한 번 더 점검한다.