낙민동 중등수학과외

학생이 새 문제를 받아 들고 계산을 시작하기 전에 교사는 먼저 물었다. “성공 개수와 전체 개수를 함께 갱신해야 하는 이유가 무엇일까?” 이번에는 빨간 공 3개와 파란 공 2개 중 한 개를 뽑아 색을 확인한 뒤, 그 공을 다시 넣고 섞어 한 번 더 뽑는 상황이다. 낙민동중등수학과외 수업에서는 숫자만 곱하는 데서 멈추지 않고, 두 번째 시행의 조건이 첫 번째 시행 뒤에도 그대로인지 식으로 확인하게 한다.

다시 넣는 조건에서는 왜 3/5가 유지될까

학생은 빨간 공이 3개이고 전체 공이 5개라는 점을 먼저 표시했다. 공을 뽑은 뒤 다시 넣는다는 조건을 읽고, 두 번째 시행에서도 빨간 공 3개와 전체 공 5개가 유지된다고 적었다. 따라서 두 번 모두 빨강일 확률은 (3/5)×(3/5)=9/25이다. 교사는 “두 번째 뽑기 전에 빨간 공의 개수가 바뀌었니?”라고 짧게 물었고, 학생은 공을 다시 넣었으므로 성공 개수와 전체 개수가 모두 처음과 같다고 설명했다.

이 장면에서 확인할 것은 계산 결과만이 아니다. 학생이 두 번째 분수의 분자와 분모를 각각 3과 5로 쓴 이유를 조건과 연결해 말하는지 살핀다. 개별 공에 번호를 붙여 생각하면 첫 번째 선택 5가지 뒤에 두 번째 선택도 5가지이므로 순서 있는 결과는 5×5=25개다. 두 번 모두 빨간 공인 경우는 3×3=9개이므로 9/25라는 답과도 맞는다.

돌려놓지 않는 대표 문제에서 달라지는 두 숫자

이제 조건을 바꾸어 빨간 공 3개와 파란 공 2개를 상자에 넣고, 공을 돌려놓지 않은 채 한 개씩 두 번 뽑게 했다. 학생은 처음 빨간 공을 뽑을 확률을 3/5로 바르게 적었다. 첫 번째 판단까지는 조건과 일치했지만, 이어서 두 번째 빨강의 확률을 2/5로 두고 (3/5)×(2/5)=6/25라고 작성했다.

교사는 곧바로 풀이 전체를 고쳐 주지 않고 학생의 계산과 설명을 대조했다. “공을 하나 꺼내도 전체가 다섯 개인가?”라고 묻자 학생은 말로는 전체 공도 줄어든다고 답했다. 그러나 종이에 적은 분수의 분모는 여전히 5였다. 이 차이를 통해 분자만 감소시킨 판단이 처음 달라진 지점인지 확인하고, 말로 아는 기준을 실제 식에 옮기는 과정도 따로 살핀다.

성공 개수와 전체 개수를 함께 갱신하는 수정

교사는 한 단계만 시범으로 보였다. 빨간 공 하나를 꺼내 돌려놓지 않으면 빨간 공은 3개에서 2개가 되고, 전체 공은 5개에서 4개가 된다. 핵심은 분자도 3에서 2로, 분모도 5에서 4로 줄어든다는 점이다. 그다음 계산은 학생이 직접 이어 쓰게 했다.

학생은 “첫 번째 빨강은 3/5, 그다음에는 빨간 공 2개와 전체 공 4개이므로 2/4”라고 고쳐 적었다. 이어서 (3/5)×(2/4)=6/20=3/10으로 계산하고, 두 번째 분모를 5로 유지했던 처음 풀이와 달라진 부분을 설명했다. 정답은 3/10이다. 학생이 성공 개수와 전체 개수를 함께 갱신한 뒤 계산했는지가 수정의 근거가 된다.

검산은 같은 곱셈을 다시 반복하지 않고 경우를 세어 진행했다. 공 하나하나에 번호를 붙이면 첫 번째 선택은 5가지, 두 번째 선택은 남은 4가지이므로 순서 있는 전체 결과는 5×4=20개다. 첫 번째와 두 번째 모두 빨간 공인 결과는 첫 선택 3가지와 남은 빨간 공 2가지의 조합인 3×2=6개다. 따라서 확률은 6/20으로, 약분한 3/10과 일치한다.

조건을 읽고 두 분수를 함께 바꾸는지 확인

두 문제를 나란히 놓으면 유지되는 원리는 ‘각 시행의 성공 개수와 전체 개수를 확인한 뒤 확률을 곱한다’는 것이다. 달라지는 조건은 공을 다시 넣는지 여부다. 다시 넣으면 두 번째 분자가 3, 분모가 5로 유지되어 9/25가 되지만, 넣지 않으면 각각 2와 4로 줄어 3/10이 된다. 다음에는 대표 문제의 자료를 그대로 두고 기존 풀이와 정답을 가린 채, 학생이 먼저 두 개의 개수를 표시하게 한다. 교사는 학생이 도움 없이 성공 개수와 전체 개수를 함께 갱신하고, 계산 뒤에는 5×4=20개 중 3×2=6개라는 검산 근거와 조건이 맞는지 설명하는지를 확인한다.