수안동 중등수학과외

학생은 먼저 새로운 조건의 문제를 받았다. “−2≤x<4인 정수 x 중 2x+1≤5인 수를 모두 구하라.” 교사는 풀이를 시작하기 전에 “범위 안에서 정수만 골라 셀 때, 무엇을 먼저 확인해야 할까?”라고 물었다. 학생은 허용 범위와 부등식에서 얻는 범위를 각각 적은 뒤 공통으로 남는 값을 찾아야 한다고 말했다. 수안동중등수학과외 수업에서는 이렇게 계산에 들어가기 전에 문제에서 요구하는 수의 종류와 범위를 먼저 표시하게 한다.

음수 범위와 등호를 먼저 표시한 적용 문제

학생은 2x+1≤5에서 양변에 1을 빼 2x≤4를 만들고, 양변을 2로 나누어 x≤2라고 적었다. 이제 허용 범위 −2≤x<4와 계산 결과 x≤2를 겹쳐 보았다. 두 조건을 동시에 만족하는 정수는 −2, −1, 0, 1, 2이므로 답은 −2, −1, 0, 1, 2, 모두 5개라고 정리했다. 교사는 “2를 넣었을 때 등호가 성립하니?”라고 다시 물었고, 학생은 2×2+1=5이므로 5≤5가 참이라고 확인했다. 반대로 범위 안에 있지만 계산 결과에서 제외되는 3은 2×3+1=7이 되어 7≤5가 거짓이라고 설명했다.

대표 문제에서 드러난 4.5의 위치

그다음 교사는 조건이 다른 대표 문제를 제시했다. “0≤x<7인 정수 x 중 2x+1<10을 만족하는 수와 개수를 구하라.” 학생은 먼저 2x+1<10에서 1을 빼 2x<9, 양변을 2로 나누어 x<4.5라고 계산했다. 여기까지의 변형은 맞았다. 그러나 답안에는 “해는 0, 1, 2, 3, 4, 4.5로 6개”라고 적혀 있었다. 부등식의 경계인 4.5를 정수 후보 목록에 넣은 것이다.

교사는 곧바로 풀이 전체를 대신 고치지 않고 “4.5가 정수인가?”라고 물었다. 학생은 말로는 정수가 아니라고 답했지만, 종이에 적은 목록에는 4.5가 들어 있었다. 그래서 교사는 말로 알고 있는 기준과 실제로 옮겨 적은 계산이 같은지 대조했다. 둘이 달랐으므로 단순히 부등식 변형을 모른다고 단정하지 않고, 경계값을 후보 목록으로 옮기는 과정에서 판단이 바뀌었는지 확인했다.

경계값과 정수 후보 목록을 분리해 다시 쓰기

교사는 “부등식에서 얻은 x<4.5는 가능한 범위를 알려 주고, 문제의 ‘정수 x’는 그 범위 안에서 다시 골라야 해”라고 한 단계만 설명했다. 이어서 종이에 ‘계산한 경계’와 ‘정수 목록’을 나누어 표시했다. 이후 과정은 학생이 직접 하도록 두었다. 학생은 먼저 주어진 범위 0≤x<7에서 정수 후보를 생각하고, x<4.5 조건을 함께 적용해 0, 1, 2, 3, 4만 남겼다. 그리고 “4.5는 경계이지만 정수가 아니므로 셀 수 없고, 5부터는 x<4.5를 만족하지 않는다”고 적었다. 수정된 결론은 정수해가 0, 1, 2, 3, 4이므로 5개였다.

검산은 같은 식을 처음부터 반복하는 방식으로 하지 않았다. 후보 주변의 값을 대조했다. x=4를 원래 부등식에 넣으면 2×4+1=9이므로 9<10이 참이다. 반면 다음 정수 x=5는 2×5+1=11이 되어 11<10이 거짓이다. 또 x=0은 0≤x<7의 주어진 범위에 포함된다. 따라서 0부터 4까지가 빠짐없이 남고, 4.5를 포함해 6개라고 센 처음 답은 정수 조건과 맞지 않는다.

두 문제에서 유지되는 기준과 다음 확인

학생은 두 문제의 조건이 달라진 점도 말로 비교했다. 새 문제에는 음수 −2와 등호가 들어가서 x=2를 포함했지만, 대표 문제에서는 0 이상인 정수만 대상으로 하고 x<4.5라는 경계와 정수 목록을 따로 확인해야 했다. 공통 원리는 계산으로 얻은 해의 범위와 문제에서 요구한 정수 조건을 겹쳐 본 뒤, 실제 후보를 하나씩 대조하는 것이다.

다음 확인에서는 대표 문제의 조건과 자료를 그대로 두되 기존 풀이와 정답은 가린다. 학생은 도움 없이 풀이를 시작할 때 범위 안의 정수 후보를 먼저 골라 세고, 부등식을 변형한 뒤 두 조건의 공통값을 적어야 한다. 마지막에는 x=4와 x=5를 원래 부등식에 대입해 포함 여부를 설명하게 하며, 경계값과 정수 후보를 구분했는지, 정답만이 아니라 그 근거까지 풀이에 남겼는지를 확인한다.