명장동 중등수학과외

“9²이 90과 같은가?”라는 첫 확인

학생은 문제 √6×√15를 간단히 하라를 보고 “√90≈9이므로 정확한 답은 9”라고 적었다. 계산을 전혀 하지 않은 것은 아니다. 두 근호를 곱해 √90으로 바꾼 부분은 문제의 곱셈 구조를 따라간 결과다. 다만 √90의 값을 정수로 반올림한 뒤 그 수를 정확한 답으로 제출하면서, 근삿값과 간단히 정리한 근호식을 같은 것으로 판단했다.

명장동중등수학과외 수업에서는 이 판단이 어디에서 달라졌는지 먼저 좁혔다. 교사는 “9²이 90과 같은가?”라고 짧게 물었다. 학생이 9²=81이라고 말하면 √90과 9가 정확히 같은 수가 아니라는 점이 드러난다. 이 질문과 처음 적은 식을 나란히 놓고, 학생이 √90을 정수로 바꾼 순간까지만 확인했다. 이 한 장면만으로 개념 전체를 안다고 단정하지 않고, 이번 오답에서 확인되는 판단을 ‘정리되지 않은 근호를 정수로 반올림한 것’으로 한정했다.

정확한 식과 근삿값을 분리해 다시 쓰기

교사는 풀이 전체를 대신 적지 않고, 학생이 이어서 할 수 있도록 한 단계만 제시했다. “근삿값이 아닌 정확한 간단한 식은 3√10이다.”라는 설명을 들은 뒤, 학생은 √90을 완전제곱수와 남는 수의 곱으로 분해해야 한다는 표시를 직접 남겼다. 정확한 값을 요구하는 문제에서는 √90≈9라는 표현을 사용할 수 있지만, 그것은 근삿값일 뿐 최종 답이 될 수 없다는 구분도 함께 말하게 했다.

학생의 수정 풀이는 √90=√(9×10)=3√10이었다. 처음 풀이에서는 √90 뒤에 ≈9를 쓰고 계산을 끝냈지만, 수정 풀이에서는 90을 9×10으로 바꾸고 √9를 근호 밖으로 꺼냈다. 교사는 학생이 3√10 뒤에 다시 ≈를 붙이지 않는지, 정확한 근호식과 정수 근삿값을 구별해 적는지를 확인했다. 정답은 √6×√15=√90=√(9×10)=3√10이다.

제곱으로 확인하는 별도의 검산

이번 검산은 같은 곱셈을 다시 계산하는 방식으로 진행하지 않았다. 수정한 답 3√10을 제곱하면 (3√10)²=3²×10=90이 된다. 따라서 √90을 간단히 나타낸 값으로 3√10이 맞는지 역으로 확인할 수 있다. 또한 처음의 두 양수 근호를 함께 제곱하면 (√6×√15)²=6×15=90이다. 두 확인 결과가 모두 90으로 모이므로, 3√10은 원래 식의 양의 제곱근이라는 근거가 생긴다. 학생은 “9는 90의 정확한 제곱근이 아니고, 3√10을 제곱해야 90이 된다”고 자신의 선택 이유를 설명했다.

완전제곱수가 생기는 새 조건에 적용하기

새 문제는 √6×√24를 간단히 하라이다. 원래 문제와 같이 두 양수 근호의 곱을 하나의 근호로 묶는 원리는 유지하지만, 이번에는 곱한 피제곱수가 완전제곱수가 되도록 조건이 바뀐다. 학생은 먼저 √6×√24=√(6×24)=√144를 적고, 144가 12²임을 이용해 √144=12로 마무리해야 한다. 여기서는 최종 답에 근호가 남지 않는다는 점도 확인한다. 검산은 12²=144=6×24로 하며, 두 근호가 양수라는 조건에 맞춰 양의 제곱근 12를 선택한다.

다음 확인에서는 원래 문제의 풀이 부분만 가린 뒤, 학생이 조건을 바꾸지 않고 처음부터 다시 적게 한다. 학생은 √90≈9를 정확한 답으로 쓰지 않고, 먼저 정확한 근호식과 근삿값을 구분한 다음 √90=√(9×10)=3√10을 완성해야 한다. 이어서 (3√10)²=90이라는 검산으로 원래 조건을 만족하는지 혼자 설명하는지를 기록한다. 교사의 도움은 “근삿값이 아닌 정확한 간단한 식은 3√10이다.”라는 말까지로 제한하고, 그 뒤의 분해와 판단 근거는 학생의 식과 설명으로 확인한다.