명륜동 중등수학과외

새 문제로 수업을 열었다. 교사는 학생에게 “A=x²−2x+3, B=2x²+x−1일 때 A−2B를 간단히 하라”라고 제시했다. 학생은 먼저 A와 B를 각각 확인했지만, 뒤의 다항식을 두 배한 뒤 빼는 조건에서는 항마다 계수와 부호가 함께 바뀐다는 점을 바로 적지 않았다. 교사는 새 문제의 계산을 대신 끝내지 않고, 어떤 부호를 먼저 표시해야 하는지 생각해 두게 한 뒤 비교할 문제를 꺼냈다.

1−(−4)를 읽는 대표 문제

비교할 문제는 (2x²−3x+1)−(x²+2x−4)를 간단히 하는 것이다. 학생은 “상수는 1−4=−3이다”라고 먼저 썼다. x²항이나 x항을 정리하기 전에 상수항만 떼어 계산한 셈이다. 교사는 이 한 줄만 보고 원인을 단정하지 않고, “뒤 상수항이 +4인지 −4인지 손가락으로 가리켜 볼래?”라고 물었다. 학생이 뒤 다항식의 상수항을 −4로 가리키면 부호를 읽는 기준은 갖고 있는 것이고, 그 뒤 계산에서만 달라졌는지 확인한다. 반대로 +4라고 가리키면 다항식 전체를 뺄 때 괄호 안 부호가 어떻게 바뀌는지 다시 확인해야 한다.

교사는 필요한 만큼만 한 줄을 대조해 보였다. 괄호를 풀면 2x²−3x+1−x²−2x+4가 된다. 특히 상수항은 1−(−4)=1+4라고 짚었다. 설명 뒤에는 학생이 직접 빼는 다항식의 상수 부호를 포함해 다음 식을 이어 쓰게 했다. 학생은 처음의 1−4를 지우고, 2x²−3x+1−x²−2x+4를 적은 다음 같은 종류의 항을 모았다. x²항은 2−1=1, x항은 −3−2=−5, 상수항은 1−(−4)=5이므로 결과는 x²−5x+5이다.

계수별 차와 x=0 대입으로 확인하기

수정 풀이가 끝난 뒤에는 같은 계산을 그대로 반복하지 않는 검산을 사용했다. 먼저 x=0을 원식에 넣으면 1−(−4)=5가 되고, 정리한 식에 넣어도 0−0+5=5가 된다. 상수항에서 생긴 차이가 검산에서도 일치하는지 확인할 수 있다. 이어 계수별로 비교하면 x²의 계수는 2−1=1, x의 계수는 −3−2=−5, 상수의 계수는 1−(−4)=5이다. 따라서 2x²−3x+1−x²−2x+4=x²−5x+5라는 결론이 유지된다. 학생이 정답만 읽는 것이 아니라, 어느 항에서 부호가 바뀌었는지 말하고 식에 표시하는지를 함께 확인한다.

두 배한 다항식을 빼는 새 적용

처음 제시한 적용 문제로 돌아가면 조건이 한 번 빼기에서 두 배한 뒤 빼기로 바뀐다. 따라서 B의 모든 항에 2를 곱한 뒤, 그 전체를 빼야 한다. 학생은 먼저 2B=4x²+2x−2를 쓰고, 괄호 앞의 마이너스가 각 항에 작용하도록 x²−2x+3−4x²−2x+2를 적는다. 같은 종류의 항을 정리하면 x²−4x²=−3x², −2x−2x=−4x, 3+2=5이므로 답은 −3x²−4x+5이다.

새 식은 −2B를 더한 결과로 볼 수도 있다. 정리한 결과에 2B를 다시 합하면 (−3x²−4x+5)+(4x²+2x−2)=x²−2x+3으로 돌아가므로 A와 일치한다. 다음에 대표 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 남기고 오답·수정 풀이·정답은 가린다. 학생이 도움 없이 뒤 다항식의 상수 부호를 포함해 식을 시작하는지, 새 적용 문제에서도 두 배한 모든 항의 부호를 바꾼 뒤 정리하는지, 그 판단을 적은 식과 역연산 검산으로 확인할 것이다.