부산남산동 고등수학과외

풀이와 정답을 가린 채 처음 문제의 조건만 다시 펼쳐 보았다. 두 변의 길이가 3cm, 5cm이고 끼인각이 120°인 삼각형의 나머지 변을 구하는 문제였다. 이렇게 답했다면 어떨까? cos120°를 1/2로 보고 c²=34−15=19, 따라서 c=√19cm라고 적었을 수 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 이 한 줄만 보고 암기 부족이라고 결론 내리지 않는다. 120°가 제2사분면에서 코사인이 어떤 부호인지, 120°가 정말 두 변 사이의 끼인각인지, 각과 맞은편 변을 어떻게 대응시켰는지를 차례로 설명하게 한다.

120°의 위치와 삼각형의 대응 관계 확인하기

먼저 학생이 단위원이나 기준각을 직접 표시해 보게 한다. 제2사분면의 코사인은 음수이므로 cos120°=−1/2이다. 그다음 삼각형의 각 A, B, C와 각각의 맞은편 변을 a, b, c로 정하고, 길이 3과 5가 120°의 양옆에 놓인 두 변인지 확인한다. 이 조건에서는 두 변과 끼인각이 주어졌으므로 코사인법칙을 사용한다. 공식의 뺄셈 기호와 cos120°의 음수 부호는 서로 다른 요소이므로 한 줄에 섞어 바꾸지 않고 따로 적는다. 학생이 고른 식이 원래 그림의 조건을 정말 반영하는지도 표시한 길이와 각을 대조해 확인한다.

부호를 분리해 수정 풀이와 검산 남기기

학생이 직접 다시 계산하면 c²=3²+5²−2·3·5cos120°=34−30(−1/2)=49가 된다. 따라서 c=7cm이다. 둔각의 맞은편 변은 두 변을 직각삼각형의 두 직각변으로 보았을 때의 기준 길이 √(3²+5²)=√34보다 커야 하므로 7cm가 방향상 맞는지 부분 검산할 수 있다. 또 c²=49를 식에 되넣으면 49=34−30cos120°이고, cos120°=−1/2가 복원된다. 단순히 답이 맞았다는 데서 끝내지 않고, 둔각이 끼인 경우에는 코사인항이 음수가 되어 전체에서 더해지는 효과가 생긴다는 근거를 학생의 말과 식으로 함께 남긴다.

각만 바꾼 문제에서 같은 근거를 조정하기

이번에는 문제와 필수 조건만 보이고 풀이와 정답은 가린 상태에서, 두 변 3cm와 5cm, 끼인각 60°인 삼각형의 나머지 변을 다시 구하게 한다. 코사인법칙은 그대로 c²=3²+5²−2·3·5cos60°로 쓰고, cos60°=1/2이므로 c²=34−15=19, c=√19cm이다. 120°를 60°로 바꾼 것은 표현만 바꾼 것이 아니라 각의 크기와 코사인값의 부호가 실제로 달라진 조건 변경이다. 계산 뒤에는 삼각형 부등식 2<c<8을 확인하고 c²=19를 식에 대입해 cos60°=1/2을 되찾게 한다. 도형을 다시 그릴 때도 겉모양만 보고 직각이라고 가정하지 않으며, 길이와 각을 반드시 표시한다. 마지막으로 학생이 둔각 문제에서 답의 크기가 √34보다 커진 이유와 예각 문제에서 작아진 이유를 각각 설명하게 하여, 다음 문제에서도 조건을 읽고 부호와 대응 관계를 스스로 조정하는지 확인한다.