부평 고등수학과외

극값 문제를 풀 때 “도함수가 0이면 극값”이라고 바로 적으면 판단의 핵심을 놓칠 수 있다. 예를 들어 f(x)=x⁴의 x=0에서 극값 여부와 값을 묻는 문제에서, 이렇게 답했다면 어떨까. f′(x)=4x³이고 도함수가 0인 점이 x=0 하나뿐이므로 극값 판단이 불가능하다는 결론이다. 그런데 검산 결과는 x=0에서 극솟값 0이다. 두 결과가 달라진 이유를 확인하려면 먼저 “0 좌우에서 세제곱 4x³의 부호는?”이라는 질문에 답해야 한다.

도함수 0과 극값을 구분하는 첫 확인

학생이 계산을 다시 하면서 x<0일 때 4x³<0, x>0일 때 4x³>0이라고 직접 표시하게 한다. 그러면 x=0의 왼쪽에서는 f가 감소하고 오른쪽에서는 증가한다는 방향 변화가 드러난다. 도함수가 0이라는 사실은 극값 후보를 찾는 단서일 뿐, 그 자체로 극값을 확정하지 않는다. 반대로 도함수가 0인 점에서 부호가 계속 같은 경우에는 극값이 아닐 수 있다. 이때는 끝점과 정의역을 빠뜨렸는지도 함께 확인한다. 특정 구간의 최댓값과 최솟값을 구한다면 허용된 극값 후보와 구간의 양 끝값을 모두 비교해야 한다.

학생이 직접 이어 쓰는 수정 풀이와 검산

교사는 “왼쪽 부호와 오른쪽 부호를 적었으니 다음 줄에는 함수의 변화를 써 보자”고 멈춰 준다. 학생은 f′가 음수에서 양수로 바뀌므로 f는 감소하다가 증가하고, 따라서 x=0에서 극소라고 적는다. 값은 f(0)=0이다. 여기서 계산 결과만으로 끝내지 않고 정의와 성립 조건도 대조한다. 모든 실수 x에 대해 x⁴≥0이고 x=0일 때 x⁴=0이므로, 이 값은 실제로 함수가 가질 수 있는 가장 작은 값이다. 따라서 정답은 x=0에서의 극솟값 0이며, 모든 실수 범위에서는 최솟값이기도 하다. 구간이 따로 주어졌다면 0이 그 구간에 포함되는지, 끝점의 함수값이 무엇인지까지 확인해야 한다.

표현을 바꿔도 조건을 남긴 독립 확인

같은 판단 기준을 f(x)=x³+2에 적용해 보자. f′(x)=3x²이므로 x=0에서만 0이고, 0의 양쪽 구간에서는 양수이다. 학생이 도함수 부호표를 그린 뒤 x<0이면 f(x)<2, x>0이면 f(x)>2라고 직접 대조하면, x=0을 지나 함수값이 계속 커지는 상황임을 확인할 수 있다. 왼쪽 값이 2보다 작고 오른쪽 값이 2보다 크므로 어느 한쪽보다 함수값이 크거나 작은 극값 조건을 만족하지 않는다. 따라서 x=0에서 극값은 없다. 도함수가 음이 아닌 것만으로 엄격한 증가를 단정하지 않고, 이 문제에서는 실제 식 x³의 값 비교로 증가 방향을 확인한다. 다음 확인에서는 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린다. 학생이 f′ 계산, 좌우 부호, 함수값 비교, 성립 조건을 각각 적은 뒤 두 문제의 부호 변화 여부를 대조하게 한다. 도함수가 0인 점과 극값을 다시 혼동한다면 부호표와 실제 함수값의 높이를 따로 작성해 판단 근거를 분리한다.