부평지구 고등수학과외

계산이 “출력 0이나 4를 만드는 입력이 허용되는가?”에서 멈추는 장면을 생각해 보자. 함수의 식만 보고 제곱값의 범위를 정하는 것과, 주어진 정의역 조건까지 적용해 실제 치역을 구하는 것은 다르다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 차이를 한 번의 정답보다 풀이 과정에서 확인한다. 문제는 $f(x)=x^2$, 정의역은 열린 구간 $(0,2)$일 때 치역을 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 먼저 “제곱값이므로 $[0,4]$이다”라고 판단한 이유를 말해 보게 한다. 끝점 $0,2$를 대입했는지, 구간 안에서 0이 나오는 입력을 찾았는지, 열린 경계가 결과에 어떤 영향을 주는지 차례로 확인한다.

끝점의 제곱만으로 치역을 정할 수 없는 이유

치역은 허용된 입력을 넣었을 때 실제로 얻는 출력 전체이다. 따라서 $y=x^2$에서 출력 0을 만들려면 $x=0$, 출력 4를 만들려면 $x=2$여야 한다. 그런데 정의역이 $0<x<2$이므로 두 입력 모두 허용되지 않는다. 학생에게 “출력 0이나 4를 만드는 입력이 정의역 안에 있는가?”라고 묻고, 각 출력에 필요한 입력을 직접 적어 원래 조건과 대조하게 한다. 이어 $0<x<2$의 모든 변이 양수이므로 제곱하면 $0<x^2<4$임을 확인한다. 이는 단순히 몇 값을 대입한 결과가 아니라 부등식의 성질에 따른 범위 판단이다.

누락된 값이 없는지 역으로 확인하는 수정 풀이

학생이 스스로 다시 풀 때는 먼저 0과 4가 실제로 나오는지 점검한다. 둘 다 나오지 않으므로 치역의 양 끝은 포함될 수 없다. 다음으로 중간값이 빠지지 않았는지 확인한다. 임의의 $y\in(0,4)$를 택하면 $\sqrt y\in(0,2)$이고, $f(\sqrt y)=(\sqrt y)^2=y$이다. 따라서 $(0,4)$ 안의 모든 출력은 실제로 얻어진다. 그러므로 수정된 결론은 치역이 $(0,4)$라는 것이다. 이때 제곱한 식 $0<x^2<4$와 역으로 입력을 찾는 확인을 함께 사용하면, 개념을 이해했는지와 조건을 정확히 적용했는지를 구분할 수 있다.

정의역의 부호와 끝점이 바뀐 문제에 다시 적용하기

설명과 풀이를 가린 뒤 같은 식에 실제 조건을 바꾼 문제를 다시 적용한다. $f(x)=x^2$, 정의역이 $[-1,2]$라면 먼저 꼭짓점의 입력 $x=0$이 정의역 안에 있는지 표시한다. 포함되므로 최솟값은 0이다. 양 끝과 구간 안의 위치를 비교하면 $x=2$에서 최댓값 4를 얻고, 두 값 사이의 출력도 모두 얻으므로 치역은 $[0,4]$이다. 실제로 $0\le y\le4$이면 $x=\sqrt y$가 $[0,2]$에 들어가 해당 출력 $y$를 만든다. 같은 함수라도 정의역의 부호와 열린·닫힌 끝점에 따라 결과가 달라진다. 재적용에서는 문제와 조건만 남긴 채 풀이와 정답을 가리고 시작하며, 두 문제의 표현만 바뀐 것인지 조건 자체가 바뀐 것인지 구별한다. “출력 0이나 4를 만드는 입력이 허용되는가?”에 답하고 두 풀이를 모두 맞히면 다음 점검으로 넘어간다. 끝점이 다시 흔들릴 때는 그 출력의 입력을 역으로 찾아 정의역에 포함되는지 대조한다.