사하구 중등수학과외

AC=14cm, BO=5cm인데 AO=BO=5cm라고 쓴 순간

사하구중등수학과외 수업에서 교사는 평행사변형 ABCD의 대각선 AC와 BD가 O에서 만나는 문제를 제시했다. 조건은 AC=14cm, BO=5cm이고, AO와 BD를 구하는 것이었다. 학생은 곧바로 답안에 AO=BO=5cm라고 적었다. 교사는 답을 바로 지우지 않고 문제의 조건과 학생의 식을 나란히 놓은 뒤 물었다. “같은 것은 AO와 OC일까, AO와 BO일까?” 학생이 두 선분의 위치를 손가락으로 가리키게 하면서, 처음 적은 답이 대각선의 어느 부분을 서로 같다고 본 것인지 확인했다.

학생은 AC를 이루는 AO와 OC가 같은지, 서로 다른 대각선에 놓인 AO와 BO가 같은지 잠시 비교했다. 이때 교사는 오답 하나만으로 학생이 성질을 전혀 모른다고 단정하지 않았다. 질문에 말로 답하는 내용과 실제로 계산 줄에 표시한 부분을 함께 살폈다. 학생이 “AO와 OC가 같다”고 말하면서도 식에는 AO=BO를 적었다면, 성질을 말로는 알고 있는지와 선분을 짝짓는 과정에서 판단이 바뀌었는지를 나누어 볼 수 있기 때문이다.

서로 이등분한다는 말을 대각선별로 나누어 읽기

교사는 설명 범위를 한 단계로 제한했다. “서로 이등분한다는 말은 각 대각선을 각각 반으로 나눈다는 뜻이야.” 이어서 AC 위에는 AO와 OC를, BD 위에는 BO와 OD를 묶어 표시했다. 서로 다른 대각선의 반을 비교하는 것이 아니라 같은 대각선 위의 두 부분을 짝짓는다는 기준만 보여 준 것이다. 그다음 계산은 학생이 직접 이어 가도록 했다. 교사는 BD 전체를 대신 계산하지 않고 “AC의 두 반쪽은 각각 몇 cm인가?”라고 짧게 물었다.

학생은 AC=14cm를 2로 나누어 AO=OC=7cm라고 적었다. BO=5cm와 짝을 이루는 것은 OD라고 표시한 뒤, OD=5cm라고 썼다. 그러고 나서 BD의 전체 길이를 BD=BO+OD=5+5=10cm로 완성했다. 처음 풀이의 AO=BO라는 비교는 AO=OC와 BO=OD라는 두 묶음으로 바뀌었다. 학생이 같은 대각선 위의 두 부분을 직접 선으로 연결하고, 왜 그렇게 짝지었는지 말하게 한 점이 수정 풀이의 핵심이었다.

합이 맞는지와 두 부분이 같은지를 따로 확인하기

검산은 본풀이의 나눗셈을 그대로 반복하지 않도록 구성했다. 먼저 AC 방향의 길이를 더해 AO+OC=7+7=14cm인지 확인하고, BD 방향도 BO+OD=5+5=10cm인지 확인했다. 이어 AO와 OC가 같고 BO와 OD가 같다는 관계를 각각 대조했다. 이렇게 하면 학생이 단순히 14를 2로 나눈 결과만 적은 것이 아니라, 각 대각선이 O에서 두 부분으로 나뉘며 같은 대각선의 두 부분이 같다는 조건을 답안에 반영했는지 확인할 수 있다.

반쪽 길이를 문자식으로 바꾼 새 조건

이제 조건을 바꾼 문제를 제시했다. 평행사변형 ABCD의 대각선 교점이 O이고, AO=3x+1cm, OC=x+5cm일 때 x와 AC를 구하는 문제다. 이번에는 반쪽 길이가 숫자로 바로 주어지지 않고 문자식으로 표현되어 있다. 그러나 유지되는 원리는 같다. 같은 대각선 AC 위의 AO와 OC를 짝지어야 하므로 3x+1=x+5를 세운다. 양변에서 x를 빼고 1을 이항하면 2x=4이므로 x=2이다. 각 식에 x=2를 대입하면 AO=3×2+1=7cm, OC=2+5=7cm가 되고, 따라서 AC=7+7=14cm이다. 7+7=14이며 두 표현에 x=2를 넣었을 때 같은 값이 나오는지도 확인했다.

다음 문제에서는 기존의 오답과 수정 풀이, 정답을 가리고 대표 문제의 조건만 남긴다. 학생이 같은 대각선 위의 두 부분을 먼저 짝짓고, 그 이유를 “각 대각선을 각각 반으로 나누기 때문”이라고 도움 없이 말한 뒤 식을 적는지 확인한다. 문자식이 다시 제시되더라도 AO와 BO를 섞지 않고 AO=OC를 근거로 등식을 세우는지, 마지막에는 두 반쪽의 합과 두 표현의 대입 결과를 남기는지를 관찰한다.