기장군 중등수학과외

“6²+4²이 10²인지 확인해 볼까?”

기장군중등수학과외 수업에서 교사는 학생에게 답부터 고치라고 하지 않고, 종이에 적힌 식과 문제 조건을 나란히 놓아 보게 했다. 문제는 AB가 지름인 길이 10cm의 원 위에 점 C가 있고, A와 B와 C가 서로 다른 점일 때 AC=6cm라면 BC를 구하는 내용이었다. 학생은 그림에서 AB가 가장 길다는 점은 알아보았지만, 곧바로 BC=10−6=4cm라고 적었다.

교사는 학생의 답만 보고 원인을 단정하지 않았다. 먼저 짧게 물었다. “6²+4²이 10²인가?” 학생은 36+16=52이므로 100과 같지 않다고 말했다. 이 반응으로 보아 단순히 뺄셈을 틀린 것인지, 직각삼각형의 기준을 선택하지 못한 것인지 구분할 필요가 있었다. 교사는 다시 “직각은 어느 각에서 생길까?”라고 물으며 문제의 조건인 지름을 보는 원주각을 표시하게 했다.

지름 AB가 만드는 ∠ACB=90°

학생이 직각의 위치를 바로 말하지 못하자 교사는 원 위의 C와 지름 AB를 연결한 그림에서 ∠ACB=90°이라고 한 단계만 짚어 주었다. 지름을 보는 원주각은 직각이라는 원의 성질을 먼저 확인한 뒤, 교사는 “이제 어떤 삼각형이 되었지?”라고 물었다. 학생은 세 변이 연결된 삼각형 중 C에서 직각이 만들어졌으므로 직각삼각형이라고 설명했다.

교사는 풀이 전체를 대신 적지 않고, 직각삼각형에서 빗변이 어느 변인지 표시하게 했다. AB=10cm가 직각의 맞은편에 있으므로 빗변이고, AC=6cm와 BC는 두 직각변이다. 따라서 학생이 찾아야 할 BC는 빗변의 제곱에서 알고 있는 직각변의 제곱을 빼야 한다는 점만 설명했다. “직각삼각형이므로 제곱의 차를 사용해 보자.” 다음 계산은 학생이 직접 이어 가도록 했다.

학생이 직접 고친 식과 다른 방식의 검산

학생은 처음 적은 뺄셈식을 지우고, 그림 옆에 직각 표시를 남긴 뒤 다음과 같이 다시 썼다. BC²=AB²−AC²=10²−6²=100−36=64. 이어서 길이는 양수이므로 BC=8cm라고 결론을 적었다. 처음 풀이에서는 전체 길이 10에서 6을 바로 뺐지만, 수정 풀이에서는 지름이 만든 직각삼각형의 빗변과 직각변을 구분한 뒤 제곱 관계를 사용했다.

검산은 같은 뺄셈을 반복하지 않도록 원래 관계에 두 직각변을 대입하는 방식으로 진행했다. 6²+8²=36+64=100=10²이므로 피타고라스 관계가 성립한다. 또한 직각은 지름 AB의 맞은편에 있는 C에서 생겨야 하므로, 계산 결과와 도형의 위치도 서로 어긋나지 않는다. 교사는 학생이 정답 8cm만 말하는지보다, “AB가 빗변이고 C에서 직각이므로 제곱의 차를 썼다”고 근거를 설명하는지 확인했다.

직각 원주각에서 지름을 판단하는 새 문제

새 적용 문제에서는 판단의 방향을 바꾸었다. A, B, C가 한 원 위의 서로 다른 점이고 ∠ACB=90°일 때 AB가 지름인지 판단하는 문항이다. 앞 문제에서는 지름 AB를 보고 직각을 얻었지만, 이번에는 직각 원주각을 보고 지름을 찾아야 한다. 바뀐 조건은 출발점이고, 유지되는 원리는 원주각과 중심각의 관계다.

학생은 AB를 보는 원주각이 90°이므로 그 호에 대응하는 중심각은 2×90°=180°이라고 적었다. 중심각이 180°인 호는 반원이고, 그 반원의 양끝을 잇는 선분 AB는 중심을 지나므로 AB는 지름이라고 결론 냈다. 계산으로 변의 길이를 구하지 않아도, 직각 원주각이 지름을 판단하게 하는 기준이 된다는 점을 확인한 것이다.

다음 수업에서는 AB=10cm, AC=6cm라는 문제 조건은 그대로 제시하되 기존의 오답과 수정 풀이, 정답은 가린다. 학생이 먼저 C에서 생기는 직각을 표시하고, 직각삼각형의 빗변을 정한 뒤 제곱의 차로 BC를 구하는지 본다. 이어서 직각만 제시된 새 문제에서는 원주각 90°에서 중심각 180°를 거쳐 지름을 판단하는지 확인하며, 막힐 때는 “직각삼각형이므로 제곱의 차”라는 한 관계만 되짚고 다음 줄은 학생이 직접 결정하게 한다.