부산북구 중등수학과외

왼쪽 3, 아래 2로 옮긴 그래프에서 식 만들기

학생은 먼저 y=x²의 그래프를 왼쪽으로 3, 아래로 2만큼 평행이동한 식과 꼭짓점을 구하라는 문제를 받았다. 부산북구중등수학과외 수업에서는 이동을 식에서 읽는 문제와 이동 설명을 식으로 만드는 문제가 어떻게 다른지 한 장의 풀이 안에서 비교한다. 학생은 왼쪽 이동이므로 괄호 안에 x−3을 넣어야 한다고 적으려 했지만, 교사는 곧바로 식을 완성하게 하지 않고 “왼쪽으로 움직이면 원래 꼭짓점은 어디로 가나요?”라고 물었다.

학생은 꼭짓점이 원점에서 왼쪽으로 3, 아래로 2만큼 이동하므로 (−3,−2)라고 말할 수 있었다. 교사는 이 좌표를 먼저 식에 반영하도록 안내했다. x좌표가 −3인 꼭짓점을 만들려면 괄호 속에서 제곱항이 0이 되는 값이 x=−3이어야 하므로 (x+3)²가 들어간다고 설명했다. 아래로 2만큼 이동했으므로 상수항은 −2가 된다. 학생은 직접 y=(x+3)²−2를 다시 썼고, x=−3을 대입해 제곱항이 0이 되므로 y=−2라는 점까지 확인했다.

y=(x−3)²+2에서 처음 달라진 판단

이제 비교할 대표 문제는 y=(x−3)²+2의 꼭짓점과 대칭축을 구하는 것이다. 학생의 첫 답은 “대칭축 y=2”였다. 상수항 2를 보고 그래프의 세로 위치를 나타내는 값을 대칭축으로 옮겨 적은 셈이지만, 꼭짓점의 y좌표를 대칭축의 식으로 바꾼 판단이 문제와 맞지 않았다. 다만 학생은 괄호 안의 x−3에서 3을 찾아낼 수 있었으므로, 식의 모든 부분을 모른다고 단정하지 않고 대칭축을 어떤 기준으로 정하는지 확인했다.

교사는 포물선 위에서 대칭인 점들이 같은 세로선의 양쪽에 놓이는지 물었다. 학생이 그 기준을 바로 고르지 못한다면 대칭축이 일정한 x값을 갖는다는 관계를 다시 확인하고, 기준은 알고 있는데 답만 달랐다면 x좌표와 y좌표를 옮겨 적은 과정을 한 줄씩 살핀다. 이 질문은 상수항을 그대로 답으로 쓰는지, 아니면 꼭짓점의 위치에서 축을 판단하는지를 구분하기 위한 것이다.

제곱항이 0이 되는 x값으로 수정하기

교사는 풀이 전체를 대신하지 않고 “제곱항이 0이 되는 x는 얼마인가요?”라고 한 단계만 제시했다. 학생은 (x−3)²가 0이 되려면 x=3이라고 적었다. 이어서 꼭짓점의 x좌표로 축의 방정식을 쓰라는 안내에 따라, x=3에서 y=2임을 계산했다. 따라서 꼭짓점은 (3,2), 대칭축은 x=3이라고 수정했다.

처음 풀이에서는 y=2를 대칭축으로 적었지만, 수정 풀이에서는 제곱항이 0이 되는 x값을 먼저 찾고 그 값을 직선의 방정식으로 표현했다. 즉, 꼭짓점의 y좌표는 그래프의 높이를 나타내고 꼭짓점의 x좌표가 대칭축의 위치를 결정한다는 차이가 식에 드러났다.

서로 다른 방식으로 검산하고 조건 바꾸기

수정한 답은 같은 계산을 반복하지 않고 대칭 관계로 확인한다. x=2를 식에 대입하면 y=(2−3)²+2=1+2=3이고, x=4를 대입해도 y=(4−3)²+2=1+2=3이다. 대칭축 x=3에서 같은 거리만큼 떨어진 두 점의 y값이 같으며, 가운데 x=3에서는 y=2가 된다. 이 결과가 꼭짓점 (3,2)와 대칭축 x=3을 함께 뒷받침한다.

다음에 대표 문제를 다시 제시할 때는 문제와 조건만 남기고 학생의 오답, 수정 풀이, 정답은 가린다. 학생이 먼저 꼭짓점의 x좌표를 찾아 축의 방정식을 쓰는지 본다. 이어서 새 적용 문제에서는 이동 설명을 식으로 만드는 방향으로 바꾸어, 왼쪽 3·아래 2라는 조건에서 y=(x+3)²−2와 꼭짓점 (−3,−2)를 도움 없이 적는지 확인한다. 교사는 x=−3을 대입해 제곱항이 0이 되는지, 괄호의 부호를 이동 방향에 맞게 결정했는지를 근거로 기록한다.