수영구 중등수학과외

학생은 먼저 두 변의 길이가 6cm와 8cm이고 끼인각이 150°인 삼각형의 넓이를 구하는 문제를 만났다. 수영구중등수학과외 수업에서는 이 문제를 바로 계산하기보다, 150°라는 각 때문에 수선의 발이 밑변의 연장선 쪽에 놓일 수 있다는 점부터 확인했다. 학생은 둔각 전체를 그대로 삼각비에 넣으려 하지 않고, 수선과 8cm 변이 만드는 직각삼각형의 예각이 30°임을 표시했다. 그러자 8cm 변에서 밑변 직선으로 내린 높이는 8×sin30°=8×1/2=4cm가 되었다.

150°의 수선과 30°의 직각삼각형

교사는 “수선의 발이 연장선에 있어도 높이의 길이는 얼마인가?”라고 물었다. 학생은 수선의 발이 삼각형 바깥쪽에 생긴 그림을 보고 잠시 망설였지만, 높이는 밑변 직선과 수직인 선분의 길이라는 기준을 다시 말한 뒤 4cm라고 적었다. 이어서 학생은 밑변으로 6cm인 변을 선택하고, 넓이=6×4÷2=12cm²라고 계산했다. 수선의 발이 밑변 위에 있는지 연장선 위에 있는지는 위치를 설명하는 조건일 뿐, 밑변과 높이에 1/2을 곱하는 공식은 달라지지 않는다는 점을 풀이 옆에 표시했다.

24cm²가 된 처음 답안에서 찾은 한 가지 누락

그다음 교사는 조건을 예각으로 바꾼 비교 문제를 제시했다. 삼각형 ABC에서 AB=6cm, AC=8cm, ∠A=30°일 때 넓이를 구하는 문제였다. 학생의 처음 답안은 넓이=6×8×sin30°=24cm²였다. 두 변과 끼인각을 이용하려는 방향은 맞았지만, 8sin30°를 계산한 값이 높이라는 점과 삼각형 넓이 공식의 절반을 구분하지 않은 상태였다.

교사는 “같은 밑변과 높이를 가진 평행사변형과 삼각형의 넓이는 어떻게 다를까?”라고 짧게 물었다. 학생은 평행사변형을 대각선으로 나누면 같은 삼각형 두 개가 생긴다고 말했지만, 자신의 식에는 그 관계가 반영되지 않았음을 발견했다. 이때 교사는 처음 답안의 계산을 전부 대신 고치지 않고, 밑변×높이에 1/2을 곱해야 삼각형 넓이라는 한 단계만 설명했다. 학생이 말로 설명한 기준과 종이에 적은 계산이 같은지 대조하자, 개념을 말하는 것과 식에 옮기는 과정 사이에서 처음 판단이 달라졌음이 드러났다.

높이를 먼저 적고 공식으로 연결하기

학생은 AB를 밑변으로 정한 뒤 AC에서 내린 수선의 길이를 먼저 계산했다. 높이=8sin30°=8×1/2=4cm라고 적고, 그다음에야 넓이=(1/2)×6×4=12cm²라고 완성했다. 처음에는 6과 8을 그대로 밑변과 높이처럼 곱했지만, 수정 풀이에서는 기울어진 변 AC=8cm와 수직 높이 4cm를 분리했다. 검산할 때는 같은 곱셈을 반복하지 않고, 밑변 6cm와 수직 높이 4cm를 가진 삼각형이 같은 밑변과 높이의 평행사변형 넓이의 절반이라는 관계를 대조했다. 따라서 정답은 12cm²이며, AC의 길이 8cm 자체를 높이로 사용하지 않았다는 점도 확인했다.

마지막에는 처음의 대표 문제 자료를 그대로 두고 답안을 가린 채 학생이 다시 풀이를 시작했다. 학생은 먼저 수직 높이를 구하고, 이어서 삼각형 넓이 공식에 1/2을 포함해 식을 적어야 한다. 다음 적용에서는 끼인각 150°인 조건에서 수선의 발이 밑변 연장선에 놓여도 30° 직각삼각형으로 높이 4cm를 구한 뒤 6×4÷2=12cm²를 계산하는지 확인한다. 교사는 정답만 보지 않고, 학생이 높이를 먼저 표시했는지, 8cm를 높이로 잘못 쓰지 않았는지, 계산 뒤 조건과 맞는 근거를 말하는지를 확인한다.