원주혁신도시 초등수학과외

두 무리로 나누었을 때 생기는 생각

이 글은 물건의 위치와 전체 개수의 관계를 살펴보는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 같은 크기의 돌 8개와 돌을 놓을 빈 종이를 준비하고, 돌 하나마다 번호 표지를 하나씩 대응해 둡니다. 번호는 물건을 구별하기 위한 자리 표시이고, 개수를 셀 때 말하는 ‘하나, 둘, 셋…’과는 다른 역할을 합니다. 먼저 돌 8개를 한 줄에 놓고, 아이가 돌을 하나씩 짚으며 20까지 세어 볼 수 있는지 활동 전에 확인합니다. 이때 아직 가능한 능력이라고 단정하지 않고, 실제로 빠뜨리거나 같은 돌을 두 번 짚는지 살펴봅니다.

대표 문제는 돌 8개를 한쪽에 5개, 다른 쪽에 3개가 되도록 나누어 놓는 것입니다. 두 무리를 서로 떨어뜨린 뒤 “두 무리로 갈라 놓았다는 사실만으로 돌 전체가 바뀔까?”라고 묻습니다. 아이는 한 무리가 두 무리가 되었으니 물건도 두 배가 되었다고 생각할 수 있지만, 이 조건에서는 그 해석이 맞지 않습니다. 돌이 어느 무리에도 빠짐없이 속하고, 같은 돌이 양쪽에 중복되어 있지 않다면 두 부분을 합친 전체는 처음과 같습니다. 나눈 것은 배치와 무리의 수이지, 돌의 개수가 아닙니다.

번호와 개수를 연결해 확인하기

교사는 먼저 한 무리의 돌 5개와 다른 무리의 돌 3개를 손가락으로 차례로 짚습니다. 아이가 번호 표지를 읽는 데 집중한다면 “이 숫자는 돌을 구별하는 표시이고, 지금 세는 것은 돌의 수”라고 구분해 줍니다. 예를 들어 표지의 순서가 바뀌어도 돌을 하나씩 한 번씩만 짚으면 마지막에 말한 수가 전체 개수가 됩니다. 교사는 돌 5개를 가리키며 “여기에는 몇 개가 있니?”라고 묻고, 이어 다른 3개도 같은 방법으로 세게 합니다. 아이가 말로 이유를 설명하기 어렵다면 각 돌을 빈 종이의 다른 위치로 옮기거나, 이미 센 돌은 선을 그어 표시하게 합니다.

아이가 두 무리를 각각 센 뒤 식으로 연결하면 5+3=8이라고 적습니다. 이 식에서 5와 3은 각각 두 부분의 돌 개수이고, 8은 두 부분을 합친 전체 개수입니다. 돌을 떨어뜨려 놓았다는 사실은 위치가 달라졌다는 뜻일 뿐, 돌이 추가되거나 사라졌다는 뜻은 아닙니다. 교사는 한쪽 돌을 다른 쪽 가까이 옮겨도 개수가 그대로인지 다시 보게 하고, 아이는 옮긴 돌을 빠뜨리거나 중복해서 세지 않았는지 확인합니다. 행동과 식이 같은 양을 나타내는지 살펴보는 과정입니다.

교사의 시범 뒤 다시 풀어 보기

아이가 “두 무리니까 2배”라고 계속 말한다면 교사는 정답만 알려 주고 끝내지 않습니다. 먼저 돌 5개 중 하나를 짚어 “이 돌이 없어졌니, 아니면 자리가 달라졌니?”라고 묻고, 이어 돌 3개를 한 번씩 옮겨 두 무리를 다시 가까이 모으는 모습을 시범으로 보입니다. 그다음에는 문제와 돌 8개를 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 처음부터 다시 놓도록 합니다. 아이는 돌 5개와 3개를 나누고, 각 무리를 하나씩 센 뒤, 두 무리를 모두 한 번씩 세어 5+3=8을 완성합니다.

긴 문장으로 설명하지 못해도 괜찮습니다. 아이가 5개를 한곳에, 3개를 다른 곳에 놓고 손가락으로 각 돌을 한 번씩 가리킨다면 두 부분을 빠짐없이 합쳤다는 근거가 드러납니다. 교사는 “빠진 돌이 있니?”, “같은 돌을 두 번 세었니?”라고 물어 위치 변화와 개수 변화를 구분하게 합니다. 이렇게 다시 해 본 뒤에는 아이가 답 8만 기억하는지, 실제 자료를 이용해 두 무리의 개수를 합친 이유를 보여 주는지 확인할 수 있습니다.

새로운 수로 바꾸어 적용하기

기본 문제와 조건을 바꾼 새 문제로 돌 9개를 6개와 3개로 나누어 봅니다. 이번에는 돌의 수와 두 무리의 크기가 달라졌지만, 한 돌과 한 번호 표지가 대응하고 어느 무리에도 빠짐없이 속하며 중복이 없다는 관계는 그대로입니다. 아이는 6개를 한 번씩 짚고 3개를 다시 세어 6+3=9를 만듭니다. 두 무리를 떨어뜨렸다가 모두 모은 뒤에도 전체가 9개인지 확인합니다.

원한다면 구슬 8개에 1번부터 8번까지 표지를 붙이고, 센 구슬을 빈 접시로 옮기는 상황도 비교할 수 있습니다. 번호를 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 8 순서로 읽으면 기록된 센 횟수는 9회지만 구슬은 8개입니다. 8번 구슬을 두 번 기록했기 때문입니다. 다음 활동에서는 아이가 숫자를 읽은 횟수와 실제로 한 번씩 센 구슬의 개수를 구분하고, 달라진 수와 그대로인 조건을 자료로 가리키거나 옮겨 보이며 확인하는지 살펴봅니다.