원주혁신도시 수학과외

x²=3x에서 x=3만 고른 이유

다음 문제에서 학생이 “x=3이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. x²=3x에서 3을 얻은 판단 자체는 식의 한 해를 찾았다는 점에서 맞지만, 문제는 등식을 만족하는 모든 x를 구하라고 했으므로 답을 하나만 적으면 충분하지 않습니다. 빠진 해가 있는지 확인하려면 먼저 양변의 항을 한쪽으로 모아 식의 구조를 살펴봐야 합니다.

곱이 0이 되는 구조를 확인하기

교사는 “3을 얻은 과정에서 x²과 3x를 어떻게 비교했는지”를 묻고, 학생이 막히면 x²-3x=0까지 함께 정리합니다. 이 식은 공통인수 x를 묶어 x(x-3)=0으로 인수분해할 수 있습니다. 여기서 곱이 0이 되려면 두 인수 중 하나가 0이어야 하므로 x=0인 경우와 x-3=0인 경우를 모두 나누어 봅니다. 따라서 x=0 또는 x=3입니다. 이는 모든 식을 무조건 인수분해할 수 있다는 뜻이 아니라, 이 문제에서 실제로 곱이 0인 형태가 되었기 때문에 적용되는 판단입니다.

학생의 수정 풀이와 직접 재시도

교사의 설명을 들은 뒤 학생은 처음 답에서 x=3만 남긴 판단을 바꾸어, 먼저 모든 항을 왼쪽으로 옮깁니다. 학생의 수정 풀이는 x²-3x=0, x(x-3)=0입니다. 이어서 첫 번째 인수 x가 0인 경우에는 x=0, 두 번째 인수 x-3이 0인 경우에는 x=3이라고 적어 해를 빠뜨리지 않습니다. 학생이 인수분해의 이유를 바로 말하기 어렵다면 공통으로 들어 있는 x를 표시하고 그중 한 부분을 함께 정리한 다음, 두 인수가 각각 0이 되는 경우를 학생이 이어서 써 보게 합니다. 표시만 남기는 것이 아니라 최종적으로 x=0, 3이라고 결론을 완성하는지가 중요합니다.

대입 검산과 다음 조건에 적용하기

구한 두 값을 원래 등식에 직접 대입하면 x=0일 때 0²=3×0이므로 0=0이고, x=3일 때 3²=3×3이므로 9=9입니다. 두 값이 모두 원래 조건을 만족하므로 x=3만 적은 답에는 x=0이 빠져 있었다고 확인할 수 있습니다. 이후에는 기본 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 같은 문제를 처음부터 다시 풀어 보게 하고, 개념에서 막혔는지 계산 과정에서 막혔는지에 따라 도움을 조절합니다.

새 문제로 x²=5x+6을 인수분해해 풀어 봅니다. 먼저 x²-5x-6=0으로 만든 뒤 (x-6)(x+1)=0이므로 x=6 또는 x=-1입니다. 숫자와 상수항이 바뀌었지만, 먼저 한쪽을 0으로 만들고 두 인수가 0이 되는 경우를 나누는 방법은 이 문제의 조건에서도 그대로 사용할 수 있습니다. 또 x(x-10)=0에서 x로 나누면 x=10만 남고 x=0인 해가 사라지므로, 곱이 0인 식에서 조건 없이 x로 나누는 판단은 주의해야 합니다. 다음 확인에서는 학생이 풀이를 가리고 두 문제를 다시 해결한 뒤, 왜 해를 두 경우로 나누는지 설명하고 새로운 식에도 적용하는지를 살펴봅니다.