원주혁신도시 고등수학과외

예시 답안에 “x=−1에서 극소 −1, x=1에서 극대 1.”이라고 적혀 있다면, 먼저 결론보다 풀이의 기준을 확인해야 한다. 이 한 줄에는 x좌표와 함숫값이 섞여 있고, 극대·극소가 서로 뒤바뀌었을 가능성도 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 오답 하나만으로 원인을 정하지 않고, 학생이 도함수의 부호와 함수값을 직접 표시하게 하며 어느 단계에서 판단이 달라졌는지 확인한다.

도함수가 0인 점과 극값을 구별하는 질문

문제는 f(x)=x³−3x의 극대·극소와 그 값을 구하는 것이다. 먼저 f′(x)=3x²−3=3(x−1)(x+1)로 두고, 도함수가 0이 되는 x=−1, 1을 찾는다. 이때 확인할 질문은 “−1과 1은 x좌표인가, 함수의 값인가?”, “각 점의 좌우에서 함수가 증가·감소하는 방향이 바뀌는가?”이다. 도함수가 0이라는 사실만으로 극값이라고 단정하지 않고, 부호표에 x축의 순서대로 −1과 1을 표시한다.

f′의 부호는 구간별로 +, −, +이다. 따라서 x<−1에서는 증가하고, −1<x<1에서는 감소하며, x>1에서는 다시 증가한다. 첫 번째 비교까지만 제시한다면 왼쪽의 증가에서 가운데의 감소로 바뀌므로 x=−1은 주변에서 가장 높은 점이 될 수 있다. 나머지 부호 변화와 함수값 계산은 학생이 직접 적는다. 이렇게 답했다면 “극대·극소를 정할 때 좌우 변화 방향을 읽었는가?”와 “x좌표를 함숫값으로 잘못 옮기지 않았는가?”를 따로 확인한다.

부호 변화와 실제 함수값으로 수정하기

학생은 부호표를 다시 읽고 x=−1에서 극대, x=1에서 극소라고 고친다. 이제 f(−1)=(−1)³−3(−1)=2, f(1)=1³−3(1)=−2를 직접 계산한다. 따라서 x=−1에서 극댓값은 2이고, x=1에서 극솟값은 −2이다. 좌우 증가·감소 방향과 직접 구한 f(−1), f(1)이 서로 맞는지 대조하면, 처음의 −1과 1이 함수값이 아니라 x좌표였다는 점도 분명해진다.

다만 주변의 극값을 묻는 문제와 닫힌 구간 전체의 최댓값·최솟값을 묻는 문제는 조건이 다르다. −2≤x≤3에서 같은 함수를 비교한다면 내부의 극값 후보 −1, 1뿐 아니라 끝점 −2, 3도 반드시 모은다. f(−2)=−2, f(−1)=2, f(1)=−2, f(3)=18이므로 최댓값은 18(x=3), 최솟값은 −2(x=−2 또는 1)이다. 증가·감소 구간을 이용하면 각 구간의 내부에서 후보보다 더 높거나 낮은 값이 나올 수 없는지도 확인할 수 있다.

조건을 바꿔 다시 적용하는 점검

재적용할 때는 문제와 조건, 필요한 함수식만 남기고 풀이·정답·부호표의 유도 표시는 가린 상태에서 시작한다. 같은 식의 표현만 바뀐 것인지, 정의역이 −2≤x≤3처럼 실제로 바뀐 것인지 먼저 표시하게 한다. 오답의 마지막 줄은 비워 두고 학생이 “x=−1에서 극대 2, x=1에서 극소 −2”라는 결론과 그 이유를 직접 채우게 한다. 다시 혼동하면 도함수가 0인 점, 부호 변화, 실제 함수값의 높이를 세 줄로 나누어 작성하고 서로 대조한다.