장전동 고등수학과외

같은 점이라는 판단이 놓친 두 끝값

삼각함수의 그래프와 구간 내 해를 다룰 때는 그래프의 모양만 기억하는 것보다 주어진 구간과 끝점의 포함 여부를 먼저 확인해야 합니다. 예를 들어 0≤x≤2π에서 cos x=1의 해를 모두 구하라고 했을 때, 이렇게 답했다면 어떨까요? “한 바퀴를 돌면 처음 점으로 돌아오므로 x=0이다.” 이 풀이는 단위원에서 같은 위치에 도착한다는 사실은 알고 있지만, 문제에서 묻는 대상이 점의 개수가 아니라 구간 안에 들어 있는 x값이라는 점을 빠뜨렸습니다.

이때 오답 하나만 보고 주기 개념을 모른다고 단정하지 않습니다. “동경이 같아도 입력값 0과 2π는 서로 다른 실수인가?”라고 먼저 묻고, 학생이 두 값을 직접 적어 보게 합니다. 이어서 구간의 양 끝에 등호가 있는지 표시하고, 0과 2π가 정의역에 포함되는지 스스로 대조하게 합니다. 한 해만 기억한 것인지, 주어진 구간을 그래프에 옮기는 과정이 빠진 것인지, 라디안의 한 주기를 실제 눈금으로 확인하지 못한 것인지 나누어 살펴봅니다.

그래프와 조건을 겹쳐서 수정하기

각도에 별도 표시가 없다면 라디안으로 해석합니다. y=cos x의 그래프와 수평선 y=1의 교점을 0≤x≤2π 안에서 모두 찾으면, 한 주기의 양 끝인 x=0과 x=2π에서 각각 만납니다. 두 값은 그래프에서는 같은 점으로 이어지는 경계처럼 보일 수 있지만, 입력값으로는 서로 다른 실수입니다. 따라서 학생에게 “해는 점인가, 구간 안의 x값인가?”를 다시 확인하게 한 뒤, 다음 등식을 직접 작성하도록 합니다.

cos 0=1, cos 2π=1이고, 0≤0≤2π 및 0≤2π≤2π입니다. 그러므로 학생의 수정 풀이는 x=0, 2π가 됩니다. 정답은 0과 2π이며, 두 값 모두 정의역에 포함되고 코사인값도 1이라는 방식으로 검산할 수 있습니다. 숫자를 대입한 확인은 이 두 값이 실제 조건을 만족하는지 살피는 부분 검산이고, 구간의 끝을 포함한다는 조건은 풀이 전체에 적용되는 기준입니다.

끝점을 바꿨을 때 해를 다시 판단하기

같은 개념을 다시 적용할 때는 기본 문제의 정답이나 풀이를 보이지 않고, 문제·조건·필수 자료만 남겨 둔 채 시작합니다. 이번에는 0<x<2π에서 cos x=1의 해를 구합니다. 먼저 열린 구간의 양 끝을 제외한다고 표시한 다음, 한 주기에서 cos x=1인 위치가 두 경계뿐임을 단위원이나 그래프에 표시합니다. x=0과 x=2π가 모두 제외되므로 구간 내부에는 해가 없습니다. 정답은 해 없음입니다. 실제로 0<x<2π에서는 단위원의 x좌표가 1보다 작아지는 위치만 나타나므로 추가 교점도 없습니다.

마지막으로 학생은 “기본 문제는 양 끝점을 포함했지만, 새 문제는 두 끝점을 제외해서 해가 사라졌다”고 한 문장으로 적습니다. 표현만 바뀐 문제가 아니라 부등호 조건 자체가 달라진 경우임을 구별하는 과정입니다. 다음 점검에서는 경계값이나 제외 조건부터 표시하게 하고, 기본각만 떠오를 때에는 단위원 또는 한 주기 그래프에 두 번째 경계와 끝점을 함께 표시하게 합니다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이렇게 조건, 표시, 계산, 대조의 순서를 직접 남겨 비슷한 삼각함수 문제에도 같은 판단을 적용하도록 연습합니다.