가장동 초등수학과외

8cm×3cm 직사각형에서 생긴 혼동

이 글은 초등수학 수업에서 활용할 수 있는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 8cm×3cm 직사각형을 한 번 돌려 놓고 가로와 세로의 이름을 바꾸자, “가로가 3cm가 되었으니 둘레도 달라지는 것 아닐까?”라고 판단할 수 있습니다. 하지만 이때 달라진 것은 도형의 방향과 변의 이름일 뿐, 실제 변의 길이나 도형 안의 공간은 변하지 않았습니다.

먼저 1cm² 모눈 종이를 직사각형 안에 맞추어 놓고, 경계를 따라갈 수 있도록 실을 준비합니다. 모눈의 한 칸은 가로 1cm, 세로 1cm인 정사각형으로서 넓이 1cm²를 나타냅니다. 반면 실로 따라가는 바깥 경계는 길이를 재는 대상이므로 단위는 cm입니다. 활동 전에는 아이가 도형의 경계를 cm로 잴 수 있는지, 내부를 1cm² 칸으로 덮어 볼 수 있는지 확인합니다. 아직 가능하다고 단정하지 않고, 실제로 어떻게 하는지 살펴보는 단계입니다.

경계의 길이와 내부의 면적을 따로 보기

교사는 직사각형의 네 변 가운데 한 변을 짚으며 “실은 어디를 따라가야 할까?”라고 묻습니다. 아이가 실을 직사각형 안쪽으로 놓거나 한 변을 빠뜨리면, 교사는 한 모서리에서 시작해 바깥선을 따라 한 바퀴 도는 모습을 시범으로 보입니다. 그 뒤 아이는 실을 다시 모서리에 맞추어 8cm, 3cm, 8cm, 3cm의 네 변을 차례로 따라가 봅니다. 따라서 둘레는 8+3+8+3=22cm입니다.

이번에는 모눈 종이의 칸을 직사각형 내부에 하나씩 놓아 봅니다. 한 줄에 8칸이고 그런 줄이 3개이므로 내부를 덮는 칸은 8×3=24개입니다. 각 칸의 넓이가 1cm²이므로 넓이는 24cm²입니다. 아이가 24라는 숫자만 말하더라도 교사는 “이 24는 실로 잰 길이일까, 모눈 칸의 수일까?”라고 확인할 수 있습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 실을 바깥 경계에 가리키게 하고, 모눈 칸을 안쪽에서 옮겨 보게 합니다. 이때 22는 cm 단위의 둘레, 24는 cm² 단위의 넓이라는 관계를 행동으로 보여 줄 수 있습니다.

직사각형을 돌려 3cm×8cm로 놓아도 네 변은 여전히 8cm, 3cm, 8cm, 3cm입니다. 내부 모눈도 한 줄에 3칸씩 8줄로 배열될 뿐, 덮는 칸의 전체 수는 3×8=24개로 같습니다. 그러므로 가로와 세로의 이름을 바꾸어 놓았다고 해서 둘레가 달라지지 않으며, 넓이도 달라지지 않습니다. 둘레 22cm와 넓이 24cm²는 숫자와 단위가 서로 다르지만, 돌리기 전후에 각각 같은 값을 유지합니다.

자료를 처음 상태로 되돌려 다시 풀기

교사의 시범 뒤에는 문제와 1cm² 모눈 종이, 경계를 따라갈 실을 그대로 두고 해설과 정답만 가린 채 다시 시도합니다. 아이는 8cm와 3cm를 변에 맞추어 놓고, 실을 네 변에 빠짐없이 대어 둘레를 구합니다. 이어 모눈 칸을 내부에 덮어 24칸을 세고 넓이를 24cm²로 적습니다. 이미 완성된 모형을 보고 답을 베끼는 것이 아니라, 도형을 다시 놓고 경계와 내부를 각각 확인하는 과정입니다.

이때 아이가 “돌리면 달라진다”라고 말하더라도 그 원인을 미리 단정하지 않습니다. 교사는 8cm 변과 3cm 변을 다시 짚어 보게 하고, 실제 길이가 바뀌었는지 이름만 바뀌었는지 나누어 살핍니다. 아이가 실의 위치를 옮기고 모눈 칸을 가리키는 것만으로도 둘레와 넓이의 대상을 구별한다면 그 행동을 근거로 이해를 확인할 수 있습니다.

새로운 수치에서 관계 적용하기

이어서 9cm×3cm 직사각형을 준비하고, 같은 방식으로 돌려 3cm×9cm로 놓습니다. 기본 문제와 달라진 것은 변의 길이와 결과이고, 도형을 돌려도 실제 모양의 방향만 바뀐다는 관계는 같습니다. 아이는 실로 9+3+9+3=24cm를 확인하고, 모눈 칸을 9×3=27개 덮어 넓이를 27cm²로 구합니다. 돌린 뒤에도 둘레 24cm와 넓이 27cm²가 각각 유지되는지 자료로 보여 주게 합니다.

다음 확인에서는 1cm² 타일 12개를 2×6과 3×4로 배열해 볼 수 있습니다. 두 배열 모두 타일 12개를 사용하므로 넓이는 12cm²로 같지만, 둘레는 각각 16cm와 14cm입니다. 아이가 단순히 “돌리면 항상 같다”는 답을 기억하는지, 아니면 도형의 방향만 바뀐 경우와 배열 자체가 달라진 경우를 실과 타일로 구별하는지 살펴보는 활동입니다.