도안동 초등수학과외

두 접시에 나뉜 물건과 대표 문제 살펴보기

다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 접시 두 개에 토큰을 나누어 놓고, 한 접시에는 8개, 다른 접시에는 3개가 있습니다. 토큰에는 구분을 위한 표지가 있을 수 있지만, 표지는 물건을 구별하는 표시일 뿐 개수를 나타내는 수는 아닙니다. 아이는 토큰을 하나씩 짚으며 ‘하나, 둘, 셋’처럼 세고, 두 접시에 있는 물건을 합치면 전체가 11개라는 것을 확인합니다. 이때 접시는 단위 물건이 아니므로 접시의 수를 세는 것이 아니라 접시 안의 토큰 수를 세어야 합니다.

이제 8개와 3개의 토큰을 모두 한 접시에 모으고 다른 접시는 비웁니다. 질문은 “한 접시를 비우고 전부 다른 접시로 옮기면 식에는 무엇을 쓸까?”입니다. 빈 접시가 생겼다는 이유로 전체 물건 수도 0이 된다고 생각할 수 있지만, 이는 문제의 조건과 맞지 않습니다. 물건을 없앤 것이 아니라 한 접시의 토큰을 다른 접시로 옮겼기 때문입니다. 옮기기 전 두 부분의 합은 8+3=11이고, 모두 한 접시에 모은 뒤에는 한 접시가 11개, 다른 접시가 0개가 됩니다.

빈 접시와 전체 개수를 식으로 연결하기

교사는 먼저 비어 있는 접시를 가리키며 “이 접시 안의 토큰은 몇 개일까?”라고 묻고, 아이가 빈 공간을 확인하도록 합니다. 이어 토큰이 모인 접시를 가리키며 “이 접시에는 처음의 토큰이 모두 들어 있을까?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 토큰을 하나씩 옮기거나, 두 접시에 있던 토큰에 차례로 손가락을 대어 중복되거나 빠진 것이 없는지 확인하게 할 수 있습니다. 처음 8개와 3개였던 물건이 모두 한 접시에 들어갔으므로 전체 개수는 그대로 11개입니다.

따라서 식은 11+0=11입니다. 여기서 0은 빈 접시에 들어 있는 물건의 개수이고, 11은 다른 접시에 모인 전체 물건의 개수입니다. 접시 하나가 비어 있다는 사실은 물건 전체가 사라졌다는 뜻이 아닙니다. 아이가 0을 전체 개수로 쓰려 한다면 교사는 접시를 바꾼 전후에 토큰이 실제로 몇 개 남아 있는지 다시 세어 보게 하고, ‘없어진 토큰이 있는가’, ‘새로 들어온 토큰이 있는가’를 확인하게 합니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 해 보는 과정

아이가 식의 의미를 바로 연결하지 못하면 교사가 토큰 하나를 집어 옮기는 모습을 먼저 보여 줄 수 있습니다. 그런 다음 나머지 토큰은 아이가 직접 한 접시로 옮기게 합니다. 아이는 8개와 3개의 토큰을 빠뜨리지 않고 옮긴 뒤, 모인 토큰을 다시 하나씩 세어 11개임을 확인합니다. 이어 빈 접시를 가리켜 0을 나타내고, 두 접시의 수를 식으로 적어 11+0=11을 완성합니다. 긴 문장으로 이유를 말하지 못하더라도 토큰을 모두 옮기고, 빈 접시에는 0을 표시하며, 모인 토큰의 수와 식을 맞추면 이해의 근거를 행동으로 보여 준 것입니다.

재시도할 때는 문제와 접시 두 개, 토큰은 그대로 준비하되 해설과 정답은 가려 둡니다. 자료를 처음 상태처럼 다시 놓아 한 접시에 8개, 다른 접시에 3개가 있도록 하고, 아이가 직접 두 부분을 확인한 뒤 한쪽의 토큰을 모두 옮기게 합니다. 교사가 이미 11개를 모아 놓은 상태를 보여 주면 옮기는 과정을 확인하기 어렵기 때문입니다. 아이가 토큰을 옮긴 후 빈 접시의 수와 전체 수를 각각 표시하고 11+0=11을 다시 만들 수 있는지 살핍니다.

새로운 수로 바꾸어 적용하기

이해를 다른 수에도 적용할 수 있는지 확인하기 위해 물건 9개와 3개를 준비합니다. 두 부분의 토큰을 한 접시에 모두 모으고 다른 접시는 비우면, 모인 접시에는 12개, 빈 접시에는 0개가 남습니다. 아이는 토큰을 옮긴 뒤 하나씩 세어 12+0=12를 완성합니다. 기본 문제와 달라진 것은 8개와 3개가 9개와 3개로 바뀐 점이고, 한 부분을 다른 접시로 모두 옮겨도 전체 수가 유지된다는 관계는 같습니다.

마지막으로 물건 11개 옆에 빈 접시 하나를 더 놓은 경우와 새 토큰 한 개를 받은 경우를 비교할 수 있습니다. 빈 접시를 더 놓아도 토큰은 여전히 11개이지만, 새 토큰을 실제로 하나 받으면 12개가 됩니다. 다음 활동에서는 아이가 답을 기억해 쓰는 데서 그치지 않고, 빈 접시에는 물건이 0개이며 다른 접시에 전체 토큰이 모여 있다는 이유를 직접 가리키거나 옮기기, 그리기로 보여 주는지 확인합니다.