가장동 중등수학과외

약수 목록에서 원래 수를 찾는 문제

학생은 먼저 다음 문제를 받았다. 양의 약수가 1, 2, 4, 8, 16의 다섯 개뿐인 자연수 N을 소인수분해하고, 서로 다른 소인수의 개수를 구하는 문제였다. 가장 큰 약수는 그 수 자신이라는 조건을 확인한 학생은 N=16이라고 적었다. 이어 16=2⁴로 나타내고, 서로 다른 소인수는 2 하나라고 정리했다. 이때 교사는 “약수의 개수는 왜 다섯 개일까?”라고 물었다. 학생은 2를 쓰는 횟수가 0, 1, 2, 3, 4인 다섯 선택을 말로 설명했다. 2⁴의 약수가 2⁰, 2¹, 2², 2³, 2⁴, 즉 1, 2, 4, 8, 16으로 이어진다는 점도 목록과 대조했다.

이 문제에서는 수에서 약수를 찾는 방향이 아니라 약수 목록에서 원래 수를 찾아가는 방향으로 생각한다. 다만 소수의 종류와 각 소수를 몇 번 사용할 수 있는지는 소인수분해의 기본 원리로 그대로 유지된다. 학생이 가장 큰 약수를 근거로 N을 정하고, 목록의 개수와 지수의 선택 수를 연결해 말했는지 확인한 뒤, 이제 36을 다루는 장면으로 넘어갔다.

36의 소인수분해와 처음 달라진 판단

교사는 36을 소인수분해하고 서로 다른 소인수와 양의 약수의 개수를 구하라고 제시했다. 학생의 답안에는 “약수의 개수는 2×2=4개이다.”라고 적혀 있었다. 가장동중등수학과외 수업에서는 이 계산만 보고 원인을 단정하지 않고, 36의 약수를 어떻게 만들었는지 먼저 확인했다. 36을 2와 3의 곱으로 나누어 생각한 방향 자체는 맞았지만, 각 소수를 사용할 수 있는 횟수를 둘씩만 센 흔적이 보였다.

교사는 짧게 “약수 1을 만들 때 2와 3을 몇 번 쓰는가?”라고 물었다. 학생이 0번이라는 선택을 인정하는지 살피기 위해, 말로 설명한 기준과 실제 답안의 계산을 나란히 대조했다. 학생은 약수 1이 2와 3을 모두 쓰지 않은 경우라는 점은 말했지만, 계산식에는 그 선택을 넣지 않았다. 따라서 지수 0을 몰랐다고 단정하기보다, 알고 있는 기준을 식으로 옮기는 과정에서 빠뜨렸는지 함께 구분했다.

제한된 설명 뒤 학생이 직접 고친 식

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 보였다. 36을 36=2²×3²로 나타낸 뒤 “2의 사용 횟수는 0, 1, 2의 세 가지다”라고 설명했다. 같은 원리가 3에도 적용된다는 말까지만 덧붙이고, 각 소수를 쓰지 않는 선택까지 포함해 학생이 직접 세도록 했다.

학생은 답안을 다시 쓰면서 2의 지수 선택을 0, 1, 2로 표시하고 3도 같은 방식으로 정리했다. 그 결과 (2+1)(2+1)=3×3=9라고 계산했다. 이어 “서로 다른 소인수는 2와 3이고, 약수 하나를 만들 때 두 소수의 지수를 각각 선택한다”고 설명했다. 처음의 2×2=4에서는 지수 0을 제외했지만, 수정 풀이에서는 두 소수 모두 사용하지 않는 경우까지 포함한 점이 달라졌다.

검산은 같은 곱셈을 다시 반복하지 않는 방식으로 진행했다. 학생은 36의 양의 약수를 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36으로 직접 적어 모두 9개임을 확인했다. 또 소인수분해 식에 값을 대입해 2²×3²=4×9=36인지 대조했다. 목록의 개수와 원래 수로 돌아가는 계산이 모두 맞으므로, 최종 결과는 36=2²×3², 서로 다른 소인수 2개, 양의 약수 9개이다.

도움 없이 이어 갈 다음 확인

다음 문제에서는 약수 1, 2, 4, 8, 16만 주고 자연수 N을 찾게 한다. 학생은 가장 큰 약수가 N이라는 조건으로 N=16을 정한 뒤, 16=2⁴를 적고 지수 0부터 4까지의 다섯 선택을 스스로 세어야 한다. 교사는 기존 풀이와 정답을 미리 보여 주지 않고, 각 소수를 쓰지 않는 선택을 포함했는지와 계산 결과가 주어진 약수 목록과 실제로 일치하는지 설명하는지를 확인한다.