가장동 수학과외

대표 문제에서 12가 된 이유

다음 문제에서 이렇게 답했다고 가정해 보겠습니다. 학생 4명 중 역할을 구분하지 않고 2명을 뽑을 때 경우의 수를 구하는 문제입니다. 학생을 A, B, C, D라고 하면, 한 쌍을 고르는 것이므로 최종 결과는 두 학생의 묶음으로 나타납니다. 그런데 학생이 4×3=12라고 답했다면, 첫 번째 학생을 고른 뒤 두 번째 학생을 고르는 순서를 모두 세었을 가능성이 있습니다.

예를 들어 A와 B를 뽑는 경우를 먼저 A를 고르고 B를 고른 것으로 세면 AB가 됩니다. 같은 두 사람을 B와 A의 순서로 고르면 BA가 되지만, 문제에서는 역할을 나누지 않았으므로 AB와 BA는 서로 다른 결과가 아닙니다. 4×3은 첫 번째 자리에 들어갈 학생 4명과 두 번째 자리에 들어갈 나머지 3명을 곱한 값이어서, 실제 쌍보다 각 쌍을 두 번씩 포함합니다. 따라서 12를 그대로 답으로 쓸 수 없습니다.

순서를 구분해야 하는지 확인하기

이 오답만 보고 계산 실수라고 바로 단정하지 않고, 교사는 먼저 “A와 B를 고른 것과 B와 A를 고른 것이 문제에서 다른 결과인가요?”라고 묻습니다. 학생이 두 경우를 다른 결과라고 말한다면, 곱셈 자체보다 서로 다른 결과를 세는 기준을 확인할 필요가 있습니다. 반대로 역할이 없다는 뜻은 이해하지만 4×3을 계산하는 과정에서만 틀렸다면, 개념과 계산 과정을 나누어 다시 살핍니다.

학생이 말로 설명하기 어렵다면 교사가 AB와 BA를 직접 나란히 제시하고, 두 사람의 구성이 같은지 비교하게 합니다. 이어 AC와 CA, AD와 DA도 같은 방식으로 살펴보게 하면서, 순서만 뒤집힌 두 표현이 하나의 선택을 나타낸다는 점을 확인합니다. 이때 역할이 있는지 없는지는 문제의 조건으로 판단해야 하며, 모든 두 사람 고르기 문제에서 무조건 같은 계산을 하는 것은 아니라는 점도 함께 짚습니다.

조건에 맞게 다시 세고 직접 풀이하기

교사는 4명 중 2명을 고르는 문제에서 순서가 없는 선택을 나열합니다. 가능한 쌍은 AB, AC, AD, BC, BD, CD입니다. 각 쌍은 두 번씩 세어지지 않도록 한 번만 적었습니다. 학생이 풀이를 이해하기 어려우면 교사가 AB와 BA를 하나로 묶는 과정까지 보여 주고, 나머지 쌍은 학생이 이어서 정리하도록 돕습니다.

학생은 처음의 “4×3=12다”라는 판단에서 두 번째 학생을 고르는 순서를 별도의 결과로 세었던 부분을 바꿉니다. 먼저 순서를 구분해 세면 4×3=12이지만, 역할이 없는 선택에서는 같은 두 사람을 순서만 바꾸어 두 번 센다는 점을 반영해야 합니다. 따라서 12÷2=6이고, 나열한 AB, AC, AD, BC, BD, CD와도 일치합니다. 학생이 “AB와 BA는 같은 쌍이므로 한 번만 센다”고 문제 조건과 연결해 설명한 뒤 6을 답으로 쓰는지 확인합니다.

검산과 새로운 조건에 적용하기

검산할 때는 같은 곱셈을 다시 반복하기보다, 수정 풀이를 가리고 문제의 조건과 답을 다시 연결해 보게 합니다. 학생이 네 명의 이름을 보고 AB, AC, AD, BC, BD, CD를 빠짐없이 한 번씩 적는지 확인하면 6가지라는 결과를 다른 표현으로 점검할 수 있습니다. 혼자 나열하지 못한다면 개념 설명이 더 필요한지, 순서를 정리하는 계산에서 막혔는지를 구분해 도움을 조정합니다. 다른 풀이를 사용하더라도 순서 없는 선택이라는 조건과 계산 결과가 맞으면 인정합니다.

새 적용 문제는 서로 다른 학생 5명 중 역할을 구분하지 않고 두 명의 준비위원을 고르는 경우입니다. 이전 문제와 달라진 것은 학생 수뿐이고, 두 사람 사이에 역할이 없다는 조건은 같습니다. 순서를 구분해 세면 5×4=20이지만, 같은 두 학생을 두 번씩 세었으므로 2로 나누어 10가지입니다. 학생이 이 문제를 이전 답을 베끼지 않고, 왜 2로 나누는지 설명하며 다시 해결하는지를 다음 확인 기준으로 삼습니다.

추가로 “두 명을 고를 때는 항상 2로 나눈다”는 설명이 조건과 맞는지도 살펴볼 수 있습니다. 5명 중 대표와 부대표를 겸임 없이 한 명씩 뽑는다면 5×4=20가지입니다. 대표와 부대표는 역할이 다르므로 A가 대표이고 B가 부대표인 경우와 B가 대표이고 A가 부대표인 경우가 서로 다른 결과입니다. 따라서 이때는 2로 나누지 않습니다. 다음 수업에서는 학생이 역할 유무를 먼저 확인하고, 새 조건에서도 순서를 구분할지 스스로 판단하는지 살펴봅니다.