백석동 초등수학과외

도형을 볼 때 바깥 테두리의 길이와 안쪽을 덮은 면적을 같은 것으로 생각하면 문제를 풀기 어렵습니다. 다음 활동에서 아이가 “같은 칸을 사용하면 바깥 둘레도 무조건 같을 것”이라고 생각했다고 가정해 보겠습니다. 이때는 정답을 바로 말하기보다, 1cm² 모눈 종이와 경계를 따라갈 실을 이용해 두 양이 어떻게 다른지 직접 확인합니다.

12개의 칸을 두 가지 직사각형으로 배열하기

먼저 1cm² 타일 12개를 준비합니다. 타일을 가로 2개, 세로 6개로 놓으면 2×6 직사각형이 되고, 가로 3개, 세로 4개로 놓으면 3×4 직사각형이 됩니다. 두 모양 모두 타일 12개로 안쪽을 빈틈없이 덮으므로 넓이는 각각 12cm²입니다. 여기서 실은 도형의 바깥 경계를 따라가며 길이를 확인하는 데 사용하고, 모눈 칸은 내부를 덮은 양을 확인하는 데 사용합니다.

아이가 같은 칸 수를 보며 두 모양의 둘레도 같다고 말할 수 있습니다. 이 반응만으로 원인을 단정하지 않고, 교사는 먼저 “타일은 모두 몇 개인가?”, “실은 도형의 어느 부분을 따라가고 있나?”라고 묻습니다. 타일을 세는 과정에서 마지막으로 말한 수는 내부를 덮은 칸의 전체 개수이고, 실이 지나가는 선은 그 칸들의 바깥 경계라는 점을 분리해 살핍니다.

경계의 길이와 내부 칸의 수를 따로 확인하기

교사는 2×6 모양의 한 변을 짚으며 가로 6cm, 세로 2cm임을 확인합니다. 네 변의 길이를 더하면 둘레는 6+2+6+2=16cm입니다. 이어 3×4 모양에서는 가로 4cm, 세로 3cm이므로 4+3+4+3=14cm가 됩니다. 두 도형은 모두 12cm²를 덮지만, 길고 좁은 2×6 배열과 조금 더 모인 3×4 배열의 바깥 경계는 서로 다릅니다.

아이가 말로 이유를 길게 설명하기 어렵다면 교사는 실의 한 부분과 모눈 칸의 한 줄을 각각 가리켜 줍니다. 아이는 실을 도형의 바깥쪽에 놓아 경계를 빠짐없이 따라가고, 안쪽 칸을 하나씩 짚어 12개인지 확인합니다. 그런 다음 “넓이”에는 cm², “둘레”에는 cm를 붙여 식과 단위를 연결합니다. 같은 숫자가 나오는 경우에도 어떤 양을 세었는지와 단위가 무엇인지 구별해야 합니다.

자료를 다시 놓고 아이가 직접 재시도하기

교사의 시범 뒤에는 문제와 모눈 종이, 타일, 실은 그대로 두고 해설과 정답만 가린 채 다시 시도합니다. 아이는 타일 12개를 먼저 2×6으로 놓고, 경계를 따라 실을 배치해 16cm를 확인합니다. 이어 타일을 처음 상태에서 다시 3×4로 배열하고, 실의 길이를 재어 14cm를 구합니다. 이미 완성된 모형을 그대로 보여 주는 것이 아니라 두 배열을 아이가 직접 다시 만들게 해야, 같은 넓이와 다른 둘레의 관계를 행동으로 확인할 수 있습니다.

아이의 답이 맞는지는 말뿐 아니라 타일 수와 실의 경로로도 확인합니다. 타일을 빠뜨리거나 겹치지 않고 12개를 덮었는지, 실이 안쪽 선이 아니라 바깥 경계만 따라갔는지, 네 변을 빠짐없이 더했는지를 함께 살핍니다. 이렇게 하면 “같은 칸 수”가 넓이를 뜻하고, “바깥 경계의 길이”가 둘레를 뜻한다는 관계를 구체적으로 다시 볼 수 있습니다.

크기를 바꾼 새 직사각형과 다음 확인

새 자료에서는 가로 9cm, 세로 3cm인 직사각형을 만들고 가로와 세로를 각각 두 배로 늘려 18cm×6cm로 바꿉니다. 아이는 새 변의 길이를 이용해 둘레를 18+6+18+6=48cm로 구하고, 넓이를 18×6=108cm²로 계산합니다. 처음 도형의 둘레는 2×(9+3)=24cm, 넓이는 9×3=27cm²였으므로, 두 변을 각각 두 배로 늘리면 둘레는 48cm로 두 배가 되고 넓이는 108cm²로 네 배가 됩니다. 길이와 면적이 같은 방식으로 변하지 않는다는 점을 새 자료에서 직접 확인하는 과정입니다.

추가로 8cm×3cm 직사각형을 돌려 3cm×8cm로 놓아 볼 수도 있습니다. 이때 방향과 가로·세로의 이름만 바뀌고 변의 길이와 칸의 배치는 같은 관계를 유지하므로 둘레는 22cm, 넓이는 24cm²로 같습니다. 다음 활동에서는 수나 배열 조건이 어떻게 달라졌는지 먼저 살피고, 아이가 답을 외워 말하는지 아니면 타일과 실을 이용해 넓이와 둘레의 이유를 다시 보여 주는지 확인합니다.