백석동 고등수학과외

겹치지 않는다는 말과 독립 조건의 차이

“P(A)=1/2, P(B)=1/3이고 A와 B가 배반일 때, 두 사건은 독립인가?”라는 문제에서 이렇게 답했다면, “서로 겹치지 않으니 독립”이라고 생각한 셈이다. 그러나 검산 결과는 이 판단과 어긋난다. 독립은 두 사건이 동시에 일어날 수 없다는 뜻이 아니라, 한 사건이 일어났다는 정보가 다른 사건의 확률을 바꾸지 않는다는 뜻이다. 따라서 말의 인상만으로 결론을 내리지 않고, 교집합 확률과 두 확률의 곱을 각각 계산해 비교해야 한다.

먼저 학생이 직접 배반의 뜻을 식으로 표시하게 한다. 배반이면 A와 B가 함께 일어나는 경우가 없으므로 P(A∩B)=0이다. 한편 독립인지 확인하는 기준은 P(A∩B)=P(A)P(B)이다. 주어진 값으로 오른쪽을 계산하면 P(A)P(B)=(1/2)(1/3)=1/6이다. 0과 1/6은 같지 않으므로 독립 조건은 성립하지 않는다.

오답의 원인을 나누어 확인하는 계산

이 한 번의 오답만으로 원인을 확정하지 않는다. 독립을 ‘동시에 불가능한 관계’로 오해했는지, 또는 한 사건이 주어졌을 때 표본 구성이 달라지는 점을 놓쳤는지 확인 질문을 나눈다. “P(A∩B)=0과 P(A)P(B)=1/6이 같은가?”라고 묻고, 학생이 두 값을 직접 적어 대조하게 한다. 값이 다르다는 사실을 표시했는데도 독립이라고 말한다면 정의의 혼동을 먼저 다룬다. 반대로 교집합을 1/6으로 계산했다면 배반 조건을 식으로 옮기는 과정과 표본 구성을 다시 살핀다.

조건부확률로도 같은 결론을 확인할 수 있다. A가 일어났을 때 B는 배반 조건 때문에 일어날 수 없으므로 P(B|A)=0이다. 독립이라면 P(B|A)=P(B)=1/3이어야 하지만, 실제 값은 0으로 다르다. 여기서 P(A)가 1/2로 양수이므로 조건부확률을 비교할 수 있다. 양의 확률을 가진 배반사건은 교집합이 0인 반면 두 확률의 곱은 양수이므로 독립일 수 없다는 일반적인 근거도 함께 적는다.

수정한 풀이를 다른 조건에 다시 적용하기

수정된 풀이의 핵심은 “서로 달라 독립이 아니다”라는 말에 머무르지 않고, 배반 조건에서 P(A∩B)=0을 쓴 뒤 P(A)P(B)와 비교하는 것이다. 이제 문제의 조건과 필요한 수치만 남기고, 풀이와 정답 및 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. A와 B가 독립이고 P(A)=1/2, P(B)=1/3일 때 P(A∩B)를 구하는 상황이라면, 먼저 독립의 기준을 표시하고 교집합 확률을 곱으로 표현한다. P(A∩B)=P(A)P(B)=(1/2)(1/3)=1/6이다.

계산 뒤에는 부분 검산을 한다. P(B|A)=P(A∩B)/P(A)=(1/6)/(1/2)=1/3이므로 원래 P(B)와 같다. 이번에는 조건이 독립이기 때문에 곱셈식과 조건부확률이 서로 맞는다. 이후 배반 조건과 독립 조건이 섞인 문제에서 먼저 교집합을 0으로 둘지, 두 확률의 곱을 사용할지 선택하게 하고 그 이유를 문장과 식으로 함께 쓰게 한다. 수정 전후 풀이를 섞어 제시했을 때도 배반인 사건의 독립 판정에 맞는 순서를 복원하고, 실제 비교값을 근거로 결론을 고르는지가 다음 확인 지점이다.