불당지구 초등수학과외

옆변 4cm와 높이 3cm는 왜 다를까?

교육용 예시로, 다음 활동에서 아이가 직사각형의 세로 길이와 평행사변형의 기울어진 옆변을 같은 것으로 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 5cm, 세로 4cm인 직사각형과 밑변 5cm, 옆변 4cm인 평행사변형을 준비합니다. 평행사변형의 옆변은 기울어져 있고, 밑변에 대한 수직 높이는 3cm입니다. 두 도형의 둘레를 먼저 구하면 직사각형은 5+4+5+4=18cm, 평행사변형도 5+4+5+4=18cm입니다. 하지만 넓이는 직사각형이 5×4=20cm², 평행사변형이 5×3=15cm²로 다릅니다.

이때 “둘레가 같으니 넓이도 같을 것 같다”거나 “평행사변형의 옆변 4cm를 높이로 사용하면 된다”는 반응이 나올 수 있습니다. 답이 틀렸다면 원인을 미리 단정하지 않고, 문제의 조건을 이해하지 못한 것인지, 기울어진 변과 수직인 선을 구별하지 못한 것인지, 넓이식을 적용하는 과정에서 막혔는지 확인합니다. 교사는 “밑변과 직각을 이루는 선은 어느 길이인가?”라고 묻고, 아이가 말로 설명하기 어렵다면 자료의 밑변과 수직선을 손가락으로 가리키게 합니다.

조각을 옮겨 수직 높이를 확인하기

교사는 평행한 두 선 사이에 수선을 그은 종이를 보여 주고, 기울어진 옆변 4cm와 밑변에 직각으로 닿는 높이 3cm를 각각 짚습니다. 옆변은 평행한 선을 비스듬히 이어 주는 길이이고, 높이는 선택한 밑변에 수직으로 잰 두 평행선 사이의 거리라는 점을 설명합니다. 이어 평행사변형의 한쪽 삼각형 조각을 겹침 없이 잘라 반대편으로 옮기면, 밑변 5cm와 높이 3cm인 직사각형 모양으로 연결할 수 있습니다. 모양의 일부를 옮겼을 뿐 조각의 넓이는 변하지 않으므로 평행사변형의 넓이는 5×3=15cm²입니다.

설명 뒤에는 아이가 직접 조각을 옮겨 보게 합니다. 옮긴 뒤에는 밑변에 맞는 수직 높이가 어디인지 다시 표시하고, 5×3이라는 식을 적어 답을 구합니다. 아이가 긴 문장으로 이유를 말하지 못해도 기울어진 옆변이 아닌 수직선을 가리키고, 옮긴 조각과 직사각형의 넓이가 같다는 그림을 그리면 이해의 근거로 볼 수 있습니다. 반대로 옆변 4cm를 높이로 적는다면 교사는 그 선이 밑변과 직각인지 함께 확인하게 합니다.

둘레와 넓이가 알려 주는 정보 비교하기

두 도형의 둘레는 모두 18cm이지만 넓이는 각각 20cm²와 15cm²입니다. 따라서 이 활동의 조건에서는 둘레만 보고 넓이를 바로 정할 수 없습니다. 같은 5cm와 4cm의 변 길이를 유지해도 선을 얼마나 기울였는지에 따라 밑변에 대한 수직 높이가 달라질 수 있기 때문입니다. 아이가 둘레를 구할 때는 네 변의 길이를 더하고, 넓이를 구할 때는 선택한 밑변과 그 밑변에 대응하는 수직 높이를 곱하도록 두 계산을 구분해 다시 확인합니다. 밑변을 다른 쪽으로 선택하면 그 밑변에 직각인 높이를 새로 찾아야 하며, 아무 옆변이나 높이로 바꾸어 쓰지 않습니다.

재시도에서는 문제와 필요한 도형 자료는 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 자료를 처음 상태로 다시 놓은 뒤 아이가 평행사변형의 조각을 직접 옮기고, 수직 높이를 표시하여 넓이를 계산하게 합니다. 교사가 한 조각을 옮기는 방법을 시범 보였다면 나머지 연결과 식 세우기는 아이가 해 보도록 합니다.

새로운 수치에서도 높이를 찾아 보기

이어서 밑변 6cm, 옆변 5cm인 평행사변형을 그리고, 밑변과 직각을 이루는 길이 4cm의 수선을 표시합니다. 이번에는 옆변 5cm가 아니라 밑변에 수직인 4cm가 높이입니다. 아이가 직각 표시를 알맞은 곳에 붙이고 6×4=24를 계산하면 넓이는 24cm²입니다. 기본 문제와 달라진 것은 밑변과 옆변, 높이의 수치이며, 변의 길이 중 수직 높이를 찾아 밑변과 곱한다는 관계는 같습니다.

마지막으로 밑변 6cm와 높이 4cm를 유지한 채 윗변을 수평으로 밀어 기울기를 바꾸어 그려 봅니다. 모양은 달라져도 평행선 사이의 수직 거리가 4cm로 유지되면 두 도형의 넓이는 모두 6×4=24cm²입니다. 다음 활동에서는 아이가 답만 기억하는지, 새로운 자료에서 밑변과 직각인 선을 직접 찾아 넓이식과 연결하는지 확인합니다.