송도동 초등수학과외

겉면의 종이와 상자 안을 채우는 큐브는 무엇이 다를까

교육용 예시로, 2cm×3cm×4cm인 직육면체 상자를 생각해 보겠습니다. 상자 안을 채울 수 있도록 한 변이 1cm인 정육면체 큐브를 준비하고, 별도로 상자의 겉면에 붙일 종이도 마련합니다. 이때 아이에게 “겉면을 덮는 종이의 넓이를 부피로 써도 될까?”라고 물어볼 수 있습니다. 다음 활동에서 아이가 겉면에 필요한 종이의 양과 상자 안을 채우는 큐브의 양을 같은 것으로 생각했다고 가정해 보겠습니다. 겉넓이의 숫자를 그대로 cm³로 적으면 부피가 된다는 설명은 이 문제에 맞지 않습니다. 겉면을 덮는 양은 넓이이고, 내부 공간을 채우는 양은 부피이므로 측정 대상과 단위가 다릅니다.

한 층의 개수와 층 수를 큐브로 확인하기

먼저 한 변이 1cm인 큐브 하나가 차지하는 부피가 1cm³임을 확인합니다. 이 내용을 아이가 이미 알고 있다고 단정하지 않고, 큐브를 직접 보고 크기와 단위를 연결할 수 있는지 살펴봅니다. 가로 방향으로 4개, 세로 방향으로 3개를 놓으면 한 층에는 4×3=12개의 큐브가 들어갑니다. 같은 층을 높이 방향으로 2층 쌓으면 12개씩 2층이므로 12×2=24개입니다. 따라서 빈틈없이 채워지는 내부 부피는 24cm³입니다.

교사는 모형을 층별로 떼어 내어 아래층과 위층을 따로 보이게 하고, “한 층에는 몇 개가 있지?”, “이 층이 몇 개 겹쳐 있지?”라고 묻습니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 큐브를 하나씩 짚어 세거나, 한 층을 옮겨 옆에 놓거나, 4×3을 그려 보게 합니다. 중요한 것은 큐브의 위치나 층을 나누는 방식이 달라도 내부에 들어 있는 전체 개수는 24개라는 점입니다. 겉면의 종이는 상자의 표면을 덮지만, 부피를 구할 때는 겉으로 보이지 않는 안쪽 공간까지 큐브로 채운다는 차이를 함께 확인합니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 계산하는 과정

아이가 종이의 넓이를 부피라고 말한다면, 교사는 종이를 상자 표면에 대어 덮는 행동과 큐브를 상자 안에 넣는 행동을 차례로 시범 보입니다. 종이는 표면에 놓이고, 큐브는 안쪽 공간을 차지한다는 점을 말과 조작으로 구분합니다. 이어서 한 층의 큐브 12개를 세고, 그 층을 2개 포개어 전체 24개가 되는지 아이가 직접 확인하게 합니다. 세로 계산식이나 곱셈식만 적는 것으로 끝내지 않고, 식의 각 수가 무엇을 나타내는지도 살핍니다. 4와 3은 한 층의 가로·세로 개수이고, 2는 층 수이며, 1cm³ 큐브 24개가 모인 양이 24cm³입니다.

재시도할 때는 2cm×3cm×4cm라는 문제와 큐브, 겉면에 붙일 종이는 그대로 두고 해설과 정답만 가립니다. 모형도 처음처럼 다시 놓아 아이가 한 층을 만들고, 층을 쌓고, 큐브 수를 세도록 합니다. 아이가 답을 길게 설명하지 못해도 한 층 12개를 가리키고 두 층을 차례로 옮긴다면 계산의 근거를 행동으로 보여 주는 것으로 확인할 수 있습니다.

빈 공간이 생긴 새 문제와 다음 확인

이제 조건을 바꾸어 가로 4cm·세로 3cm·높이 2cm인 직육면체 재료 안에 1cm³의 빈 공간이 있다고 해 보겠습니다. 외형이 차지하는 공간은 4×3×2=24cm³이지만, 실제 재료의 부피는 빈 공간 1cm³를 제외한 23cm³입니다. 기본 문제에서는 공간을 큐브로 빈틈없이 채웠지만, 새 문제에서는 내부에 채워지지 않은 부분이 생겼다는 점이 다릅니다. 아이가 전체 외형의 부피와 실제 재료의 부피를 구분해 24cm³와 23cm³를 각각 나타내는지 확인합니다.

필요하다면 1cm³ 큐브 12개를 3×2×2와 6×2×1로 각각 쌓아 보며 배열 모양이 달라도 총부피는 12cm³임을 비교할 수 있습니다. 다음에는 숫자나 빈 공간의 조건이 달라졌을 때 한 층의 개수와 층 수를 다시 살피고, 아이가 답을 기억해 쓰는 데서 그치지 않고 큐브를 세거나 옮겨 같은 양을 보여 주는지 확인합니다.