송도동 고등수학과외

“상수 C를 더해도 도함수가 달라지는가?”라는 질문으로 시작한다. 학생이 “달라진다” 또는 “모르겠다”고 답했다면, 먼저 직접 미분해 확인하도록 한다. 다항함수의 미분에서 상수항은 사라지므로 x²와 x²+C의 도함수는 모두 2x이다. 다만 이 한 가지 사실만으로 학생의 원인을 확정하지 않고, 처음 쓴 식과 C를 포함한 식을 나란히 적어 차이를 표시하게 한다. 이런 확인 과정을 거치면 배움노트 고등수학 수업에서도 답을 외우기보다 조건이 식에 어떤 역할을 하는지 따라갈 수 있다.

도함수를 거꾸로 읽은 풀이에서 빠진 것 찾기

문제는 f′(x)=2x이고 f(0)=3일 때 f(x)를 구하는 것이다. 이렇게 답했다면 학생은 f=x²이라고 썼을 수 있다. 이 식을 다시 미분하면 2x이므로 도함수 조건은 만족한다. 그러나 f(0)=0이 되어 주어진 함숫값 조건 f(0)=3과는 맞지 않는다. 교사는 “x²에 상수를 더해도 도함수는 그대로인가?”, “x²+C를 x=0에 대입하면 무엇이 남는가?”라고 묻고, 학생이 두 식을 직접 계산해 대조하게 한다. 이어 도함수가 같으면 원래 함수도 반드시 같은지, 아니면 상수 차이가 가능하다는 점은 알고도 한 점의 함숫값으로 정하지 못했는지를 구분해 확인한다.

모든 후보를 남긴 뒤 함숫값으로 상수 정하기

f′(x)=2x에서 가능한 다항함수는 f(x)=x²+C로 먼저 남긴다. C를 생략하면 조건을 만족하는 후보 중 하나만 임의로 고른 셈이지만, C를 적으면 같은 도함수를 갖는 모든 후보를 비교할 수 있다. 이제 f(0)=3을 대입하면 0²+C=3이므로 C=3이다. 학생이 직접 “f(0)=C=3이므로 f=x²+3”이라고 이어 쓰게 하고, 교사는 계산의 기준만 제시한다. 마지막으로 미분하면 2x이고, x=0을 대입하면 3이므로 도함수 조건과 함숫값 조건을 모두 만족한다고 학생의 말로 정리하게 한다. 수치 대입은 답을 고르는 근거이고, 상수항의 도함수가 0이라는 설명은 모든 C에 적용되는 일반적인 근거다.

풀이와 정답을 가린 상태에서 상수 차이 다시 확인하기

재적용에서는 문제와 필요한 조건만 남긴다. f′(x)=g′(x), f(x)=x²+3, g(x)=x²−1이라는 자료를 보이되 풀이와 정답은 가린 채 시작한다. 학생은 먼저 f−g=(x²+3)−(x²−1)=4를 직접 계산하고, 두 함수의 도함수는 같지만 함수는 4만큼 다르다는 결론을 적는다. 따라서 “도함수가 같으면 함수도 같다”는 주장은 거짓이다. 상수 4의 도함수가 0이므로 도함수 정보만으로는 상수 차이를 구별할 수 있다는 점도 함께 표시한다. 이후 학생이 함숫값 조건으로 상수를 결정한 근거를 다시 적게 한다. 상수 차이를 놓치면 같은 도함수를 갖는 두 다항식을 직접 만들고, 한 점의 조건을 추가했을 때 하나를 고르는 과정을 다시 수행한다. 표현만 바꾼 문제인지 조건 자체가 달라진 문제인지 구별하며, 다음 풀이에서도 식·조건·검산을 빠짐없이 대조하는지 확인한다.