연지동 초등수학과외

40°·60°인 삼각형에서 무엇이 달라질까요?

이 글은 삼각형의 내각 관계를 살펴보는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 각 수치가 적힌 삼각형 종이와 가위를 준비하고, 종이에 표시된 세 꼭짓점의 안쪽 벌어진 부분을 살펴봅니다. 처음 두 내각이 40°와 60°라면 세 번째 내각은 180°-40°-60°=80°입니다. 이제 첫 번째 각을 50°로 바꾸고 둘째 각 60°는 그대로 둡니다. 질문은 “한 내각을 더 크게 하고 다른 하나를 유지하면 나머지 각은 어떻게 될까?”입니다.

아이의 가능한 반응은 “한 각이 커졌으니 나머지 두 각도 함께 커져야 한다”거나, 처음 답인 80°를 그대로 말하는 것일 수 있습니다. 이때 답만 보고 원인을 단정하지 않고, 문제의 조건을 다시 확인합니다. 첫 번째 각만 40°에서 50°로 변했는지, 둘째 각 60°는 유지되는지, 세 각을 내각으로 보고 있는지를 차례로 묻습니다. 바깥각이나 종이의 겉모양, 축척을 수치에 섞지 않고 삼각형 안쪽의 세 각만 비교하는 것이 핵심입니다.

세 꼭짓점을 모아 180°와 비교하기

교사는 삼각형 종이의 세 꼭짓점을 가리키며 각 수치가 각각 삼각형 내부의 벌어진 부분을 나타낸다고 설명합니다. 종이를 잘라 세 꼭짓점을 한곳에 모으면 세 내각이 일직선을 채우는 모양이 되어 합이 180°가 됩니다. 아이가 말로 이유를 길게 설명하지 못하면 교사가 한 꼭짓점을 먼저 잘라 옮기는 모습을 보여 주고, 나머지 꼭짓점은 아이가 직접 옮겨 일직선에 맞춰 보게 합니다. 이렇게 하면 각의 위치를 바꾼 것이지 각의 크기를 새로 만든 것은 아님을 행동으로 확인할 수 있습니다.

그다음 아이는 바뀐 수를 식으로 연결합니다. 50°+60°=110°이므로 남은 각은 180°-110°=70°입니다. 처음 남은 각 80°와 비교하면 10° 줄었습니다. 첫 번째 각이 10° 커졌고 둘째 각은 그대로이므로, 세 각의 합 180°를 유지하려면 나머지 각에서 10°가 줄어야 합니다. 아이가 70°를 말하는 데 그치지 않고, 50°와 60°에 해당하는 두 꼭짓점을 가리킨 뒤 남은 꼭짓점의 종이를 옮겨 합이 일직선을 이루는지 확인하면 계산과 모형이 같은 관계를 나타내는지 살필 수 있습니다.

해설을 가린 뒤 다시 직접 해 보기

교사는 40°·60°·80°가 표시된 삼각형 종이와 각을 옮겨 볼 자료는 그대로 두고, 정답과 풀이 부분만 보이지 않게 합니다. 자료 자체를 없애거나 문제를 가리지 않고, 아이가 처음 상태의 40°와 60°를 다시 놓은 뒤 첫 번째 각만 50°로 바꾸게 합니다. 아이가 어려워하면 교사가 50°와 60°가 차지하는 부분을 짚어 “이 두 각을 합치면 110°인데, 일직선 180°까지 얼마나 남을까?”라고 묻습니다. 이어지는 계산과 남은 각의 이동은 아이가 해 보게 합니다.

아이가 말로 설명하지 못해도 50° 부분을 가리키고, 60° 부분은 그대로 둔 채, 남은 부분을 80°에서 70°로 바꾸어 그리거나 옮기면 이해를 확인할 수 있습니다. 반대로 80°를 그대로 둔다면 세 각의 합이 190°가 되는지 함께 확인하여 조건과 답이 맞는지 검산합니다.

크기를 두 배로 해도 각은 그대로일까요?

새 자료에서는 40°·60°·80°인 삼각형을 같은 모양으로 두 배 확대한다고 가정합니다. 기본 문제처럼 한 각의 수치를 바꾸는 것이 아니라 도형 전체의 길이와 크기만 확대하는 조건입니다. 아이는 확대된 삼각형의 세 꼭짓점을 다시 가리키며 40°+60°+80°=180°인지 확인합니다. 길이가 커졌다고 각이 커지는 것은 아니므로 세 각과 내각의 합은 그대로입니다.

마지막으로 80° 꼭짓점 옆에 바깥각 100°를 그린 자료와 비교할 수도 있습니다. 100°는 삼각형 내부의 내각이 아니므로 40°+60°+80°의 내각 합에 섞지 않습니다. 다음 활동에서는 아이가 기본 문제와 확대 문제에서 바뀐 조건과 그대로인 관계를 구분하고, 답을 외워 말하기보다 꼭짓점을 모으거나 가리키고 옮기는 행동으로 180°와의 관계를 보여 주는지 확인합니다.