연지동 중등수학과외

“360÷8=45°”라는 답을 조건과 나란히 놓기

중1 각과 다각형 수업에서 교사는 볼록 정팔각형의 한 내각과 한 외각을 각각 구하는 문제를 제시했다. 학생은 종이에 “360÷8=45°이므로 한 내각은 45°”라고 적었다. 계산 자체는 정팔각형의 외각을 구할 때 사용할 수 있는 식이지만, 문제에서 묻는 대상은 한 내각과 한 외각이었다. 교사는 답안을 바로 지우지 않고 “360°는 내각의 합일까, 외각의 합일까?”라고 물었다. 연지동중등수학과외 수업에서는 이처럼 학생이 적은 식과 문제의 조건을 함께 놓고, 처음 달라진 판단이 계산인지 각의 종류 선택인지 확인한다.

학생이 360°를 내각의 합이라고 답한다면 각의 합 공식을 다시 확인할 필요가 있다. 반대로 360°가 외각의 합이라는 기준은 말하면서도 내각을 45°라고 적었다면, 개념 전체를 모른다고 단정하지 않고 답을 옮기는 과정을 살핀다. 교사는 “45°는 어떤 각을 나타내지?”라고 한 번 더 묻고, 학생이 그림에서 한 꼭짓점의 바깥쪽 각과 안쪽 각을 손가락으로 구분하게 했다. 이 질문에 학생이 외각이라고 말하는지, 아니면 여전히 두 각을 같은 것으로 표시하는지가 다음 설명의 범위를 정하는 근거가 된다.

내각의 합과 이웃한 두 각의 관계 확인하기

교사는 풀이 전체를 대신 쓰지 않고 한 단계만 시범으로 보였다. 정팔각형의 내각의 합은 (8−2)×180°=1080°이다. 따라서 한 내각은 1080°÷8=135°가 된다. 학생이 처음 사용한 360°는 정팔각형의 외각 8개의 합이므로, 360°÷8=45°는 한 외각을 구하는 계산이다. 한 꼭짓점에서 내각과 그에 이웃한 외각은 일직선 위에 놓이므로 두 각의 합은 180°이고, 내각은 180°−45°=135°로 구할 수 있다.

설명 뒤 교사는 식의 빈칸을 모두 채워 주지 않았다. 학생은 먼저 “45°는 외각”이라고 옆에 표시한 뒤, 내각의 합을 이용한 풀이를 직접 다시 썼다. 학생의 수정 풀이는 내각의 합=(8−2)×180°=1080°, 한 내각=1080°÷8=135°, 한 외각=180°−135°=45°였다. 처음 풀이와 달라진 점은 360÷8의 계산 결과가 아니라, 그 결과가 내각이 아닌 외각이라는 기준을 식 옆에 분명히 적은 것이다. 교사는 학생에게 “이제 문제에서 요구한 두 답을 각각 읽어 줄래?”라고 요청해, 내각과 외각을 순서대로 말하게 했다.

계산을 반복하지 않는 두 가지 검산

수정한 답은 본풀이와 다른 방법으로 확인했다. 먼저 외각을 모두 더해 45°×8=360°인지 대조했다. 이어 한 꼭짓점에서 두 각의 관계를 확인해 135°+45°=180°인지 살폈다. 이 두 검산은 내각의 합을 다시 계산하는 방식이 아니라, 외각 전체의 회전과 이웃한 내각·외각의 직선 관계를 각각 이용한다. 두 조건이 모두 맞으므로 한 내각 135°, 한 외각 45°라는 결론이 문제의 조건과 일치한다.

외각에서 변의 개수를 찾는 새 조건

새 문제에서는 방향이 바뀐다. “볼록 정다각형의 한 외각이 30°일 때 변의 개수와 한 내각을 구하라”는 조건을 제시한다. 정팔각형처럼 변의 개수를 알고 각을 구하는 것이 아니라, 이번에는 외각에서 변의 개수를 찾아야 한다. 학생은 외각의 합이 360°라는 기준을 먼저 선택해 변의 개수=360°÷30°=12라고 적는다. 이어 한 내각은 이웃한 외각과의 합이 180°이므로 180°−30°=150°로 구한다. 마지막으로 12×30°=360°, 150°+30°=180°을 확인한다. 다음에 대표 문제를 조건 그대로 다시 제시하되 오답과 수정 풀이를 가린 뒤, 학생이 45°를 외각으로 표시하고 135°를 내각으로 구분하는지, 새 문제에서도 외각의 합과 180°의 관계를 스스로 선택해 식과 근거를 남기는지 확인한다.