용곡동 초등수학과외

여섯 면 중 하나가 가려진 상자

이 글은 입체도형의 겉넓이를 확인하는 교육용 예시입니다. 다음 활동에서 아이가 이렇게 생각했다고 가정해 보겠습니다. 가로 2cm, 세로 3cm, 높이 4cm인 직육면체 상자의 전개도에서 위·아래·앞·뒤·왼쪽 면은 보이지만 오른쪽 면은 가려져 있습니다. 아이에게 종이 조각이 다섯 개 보이니 상자를 덮기에 충분하다고 생각할 수도 있습니다. 그러나 종이 조각의 수가 많아 보이는지만으로 여섯 면을 모두 덮었다고 판단할 수는 없습니다. 겉넓이는 상자의 실제 여섯 면을 한 번씩 덮는 면적의 합이기 때문입니다.

면의 이름과 직사각형의 넓이 연결하기

먼저 교사는 전개도의 각 부분에 위·아래·앞·뒤·왼쪽·오른쪽이라는 이름을 붙여 보게 합니다. 아이가 말로 설명하기 어렵다면 교사가 보이는 면을 하나 짚고, 그 면과 마주 보는 면을 찾아 짝지어 보입니다. 아이는 면의 위치를 따라가며 위와 아래, 앞과 뒤, 왼쪽과 오른쪽을 각각 대응시킵니다. 이때 면의 순서나 종이의 배열이 달라져도 같은 상자의 면을 나타내는지 확인해야 합니다.

각 면의 넓이는 가로와 세로를 곱해 구합니다. 2cm×3cm인 면은 6cm², 2cm×4cm인 면은 8cm², 3cm×4cm인 면은 12cm²입니다. 서로 마주 보는 면은 크기가 같으므로 같은 크기의 직사각형끼리 묶을 수 있습니다. 따라서 위·아래가 각각 6cm², 앞·뒤가 각각 8cm², 왼쪽·오른쪽이 각각 12cm²입니다. 가려진 오른쪽 면도 빠진 채로 두지 않고 같은 크기의 왼쪽 면과 짝지어 복원하면, 여섯 면 전체의 겉넓이는 6+6+8+8+12+12=52cm²가 됩니다.

교사의 시범 뒤 아이가 다시 확인하는 과정

교사는 오른쪽 면을 가리킨 자료에서 왼쪽 면을 짚은 뒤, “마주 보는 면은 어떤 크기일까?”라고 묻고 같은 크기의 면을 찾아 보입니다. 이어서 한 면을 표시하고 그에 대응하는 면을 아이가 직접 찾도록 합니다. 아이는 면 이름을 적거나 손가락으로 가리키고, 겹치는 면이 있는지 확인하며, 빠진 면의 자리를 다시 그려 볼 수 있습니다. 긴 문장으로 이유를 말하지 못해도 여섯 면을 하나씩 가리키고 같은 크기끼리 연결한다면 이해의 근거를 확인할 수 있습니다.

그다음 문제와 필요한 전개도 자료는 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 아이가 처음부터 다시 대응시켜 보게 합니다. 이미 52cm²가 표시된 모형을 그대로 보여 주는 것이 아니라, 2cm×3cm, 2cm×4cm, 3cm×4cm 면을 다시 놓고 가려진 오른쪽 면을 복원하게 합니다. 아이가 여섯 면을 각각 한 번씩 확인한 뒤 식을 완성하면, 단순히 종이 조각 수를 세는 것과 실제 겉넓이를 구하는 것이 다름을 행동으로 보여 줄 수 있습니다.

겉넓이와 부피를 새 상자에 적용하기

이해를 새로운 자료에 적용하기 위해 1cm×1cm×5cm 상자와 1cm×2cm×3cm 상자를 비교해 볼 수 있습니다. 첫 번째 상자의 겉넓이는 2×(1×1+1×5+1×5)=22cm²이고 부피는 1×1×5=5cm³입니다. 두 번째 상자의 겉넓이도 2×(1×2+1×3+2×3)=22cm²이지만 부피는 1×2×3=6cm³입니다. 아이는 각 상자의 세 종류 면을 짝지어 겉넓이를 계산하고, 가로·세로·높이를 모두 곱해 부피를 따로 구합니다. 겉넓이가 같아도 부피는 다를 수 있다는 점을 수와 식으로 확인하는 활동입니다.

추가로 52cm²인 상자를 덮기 위해 접착 여유 종이 6cm²를 더 준비하는 상황도 비교할 수 있습니다. 이때 도형의 겉넓이는 여전히 52cm²이고, 준비할 종이는 52+6=58cm²입니다. 아이가 기본 문제와 새 문제에서 달라진 수가 무엇인지 찾아보고, 답만 기억하는 대신 면을 짝짓고 식을 세워 이유를 나타내는지 다음 활동에서 확인합니다.