청원구 초등수학과외

곱셈 결과가 더 작아질 수 있는 대표 문제

다음 활동은 초등수학 학습을 위한 교육용 예시입니다. 가로 0.8m, 세로 0.5m인 직사각형의 넓이를 구한다고 가정해 보겠습니다. 아이에게 한 변의 길이와 한 칸의 넓이가 표시된 격자 자료를 보여 주고, 문제의 모양에 맞게 칸을 만들어 보게 합니다. 이때 함께 확인할 질문은 “곱하는 한 변이 1m보다 짧으면 넓이를 나타내는 수치도 작아질 수 있을까?”입니다.

아이는 곱셈 결과의 숫자는 언제나 두 인수보다 커야 한다고 생각할 수도 있습니다. 하지만 이 문제에서는 0.8과 0.5가 모두 1보다 작은 수이므로 그 곱은 0.4가 됩니다. 이것만으로 아이가 곱셈의 뜻을 모른다고 단정하지 않고, 길이와 넓이를 서로 같은 종류의 수로 비교하고 있는지, 또는 1보다 작은 수를 곱할 때 수치가 어떻게 변하는지 아직 연결하지 못한 것인지 살펴봅니다.

격자의 한 칸과 전체 넓이를 연결하는 과정

교사는 먼저 격자에서 가로 한 변 0.8m와 세로 한 변 0.5m를 각각 짚습니다. 두 변은 길이를 나타내지만, 두 길이를 곱하면 직사각형이 차지하는 넓이가 되므로 단위도 m가 아니라 m²가 된다는 점을 짧게 설명합니다. 한 칸의 가로 길이와 세로 길이를 곱해 한 칸의 넓이를 구하고, 그 결과가 문제의 직사각형 전체와 어떤 관계인지 자료 위에서 확인합니다.

아이가 말로 이유를 설명하기 어렵다면 교사는 가로 변과 세로 변을 차례로 가리키거나 한 부분을 직접 놓아 보입니다. 이어지는 부분은 아이가 격자의 행과 열을 세고, 필요한 칸을 표시하거나 옮겨 보게 합니다. 행과 열의 수를 곱한 것이 전체 작은 칸 수라는 점도 확인하되, 칸의 변 길이와 칸의 넓이를 같은 것으로 세지 않도록 구분합니다. 아이가 자료를 이용해 계산하면 0.8×0.5=0.4m²가 됩니다. 0.8m와 0.5m는 길이이고, 0.4m²는 넓이이므로 단위가 달라집니다.

정답을 가린 뒤 다시 놓고 계산하기

교사의 시범 뒤에는 문제의 수치와 필요한 격자 자료는 그대로 두고, 해설과 정답만 가린 상태에서 다시 시도하게 합니다. 모형이 이미 0.4m²를 나타내고 있지 않도록 자료를 처음 상태로 되돌린 뒤, 아이가 0.8m와 0.5m를 다시 확인하고 한 칸의 넓이를 구하도록 합니다. 아이는 행과 열을 표시하고, 한 칸의 넓이를 전체에 적용한 뒤 식을 적어 답을 완성합니다.

이때 교사는 “어느 길이를 곱했는지”, “지금 구한 것은 길이인지 넓이인지”, “곱한 뒤 단위가 어떻게 바뀌었는지”를 물을 수 있습니다. 아이가 긴 문장으로 답하지 못해도 가로 변과 세로 변을 차례로 가리키고, 넓이를 나타내는 부분을 그리거나 옮긴다면 이해의 근거로 볼 수 있습니다. 행을 추가했는지, 격자의 축척을 바꾸었는지, 한 칸을 다시 나누었는지도 표시하게 하여 실제로 변한 조건과 그대로인 조건을 구분합니다.

축척이 달라진 새 자료에 적용하기

이어서 가로 0.3m, 세로 0.2m라고 표기된 축척 그림을 새 자료로 제시할 수 있습니다. 이 직사각형의 실제 넓이는 0.3×0.2=0.06m²입니다. 그림을 종이에 두 배 크기로 인쇄하더라도 표기된 실제 길이와 실제 넓이가 두 배가 되는 것은 아닙니다. 아이가 종이 위 그림의 크기와 문제에서 정한 실제 양을 구별하는지 살피고, 0.3과 0.2를 이용해 식을 세워 답을 구하게 합니다.

마지막으로 가로 0.6m, 세로 0.2m인 직사각형을 돌려 두 변의 역할을 바꾸어 볼 수 있습니다. 0.6×0.2=0.2×0.6=0.12m²이므로 순서를 바꾸어도 합쳐지는 두 변의 양과 넓이는 같습니다. 기본 문제와 새 문제에서 숫자, 축척, 방향 중 무엇이 달라졌는지 확인하면서, 아이가 답을 기억해 쓰는 데 그치지 않고 격자나 식을 이용해 넓이가 0.4m², 0.06m², 0.12m²가 되는 이유를 다시 보여 주는지 살펴봅니다.