청원구 고등수학과외

계수의 비가 답이 되지 않는 경계값부터 보기

함수의 극한에서는 계수만 비교해 값을 정하면 안 된다. 예를 들어 lim(x→∞)(3x+1)/(x²+1)을 구할 때 분자의 최고차항 계수 3과 분모의 최고차항 계수 1을 보고 3이라고 답했다면, 분자와 분모의 차수가 서로 다르다는 조건을 놓친 것이다. 이 식에서 x가 매우 커질수록 분자는 일차 크기, 분모는 이차 크기로 커지므로 전체 비는 작아지는 방향으로 간다. 다만 큰 수를 하나 대입해 작아 보인다는 것만으로 결론을 내리지 말고, 식을 변형해 구간 전체에서 어떤 구조가 유지되는지 확인해야 한다.

함숫값과 가까이 갈 때의 값을 나누어 확인하기

먼저 “x가 무한대로 갈 때”라는 표현을 한 점에서의 함숫값과 혼동했는지 스스로 물어본다. 무한대는 대입하는 실수가 아니라 입력이 한없이 커지는 상황을 나타내므로, 좌우에서 다가가는 극한을 묻는 문제와도 구별해야 한다. 원식의 분자·분모를 x²으로 나누면 (3/x+1/x²)/(1+1/x²)가 된다. x→∞에서 3/x와 1/x²은 각각 0으로 가고, 분모는 1로 가므로 분자의 극한은 0, 분모의 극한은 1이다. 분모의 극한이 0이 아니므로 몫의 극한을 계산할 수 있고 결과는 0이다. 약분이나 나눗셈은 x가 무한대라는 값을 직접 넣는 과정이 아니라, 충분히 큰 x에서 분모가 0이 아닌 범위를 전제로 한 변형임을 적어 둔다.

이때 “최고차항의 차수가 서로 같은가?”라는 확인 질문도 함께 사용한다. 차수가 같으면 최고차항 계수의 비가 남지만, 분자의 차수가 낮으면 가장 높은 차수로 나눈 뒤 분자의 항들이 0으로 사라질 수 있다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 학생이 변형식, 각 항의 극한, 분모 조건, 최종 결론을 직접 표시하고 계산 결과와 성립 근거를 나누어 쓰게 한다.

풀이를 가린 채 조건이 달라진 문제에 다시 적용하기

수정한 풀이를 확인한 뒤에는 문제와 조건만 남기고 풀이·정답·유도 표시를 가린 상태에서 lim(x→∞)(2x²+1)/(x²−x)를 다시 시작한다. 분자와 분모를 x²으로 나누어 (2+1/x²)/(1−1/x)로 만들면 분모의 극한은 1≠0이고 전체 극한은 2이다. 원식−2=(2x+1)/(x²−x)이며 이 식은 분자가 일차, 분모가 이차이므로 극한이 0이라는 방식으로도 결과를 대조할 수 있다. 이는 첫 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 차수가 같은 조건으로 바꾼 문제이므로, 같은 단계를 기계적으로 반복하지 않고 조건에 맞는 기준을 선택해야 한다.

마지막에는 수정 전후 풀이를 섞어 놓고 가장 높은 차수로 나누기, 항별 극한 계산, 분모 극한 확인, 결론 쓰기의 순서를 복원하게 한다. 대입만 했다면 가까이 가는 입력에서의 식과 특정 입력에서의 함숫값을 따로 적게 하며, 분자 차수가 낮은 문제와 같은 차수의 문제를 번갈아 풀어 선택 이유까지 말하게 한다.