복대동 고등수학과외

“e^−x의 최대 1”이라는 답에서 멈추지 않기

배움노트 고등수학 수업 수업에서 다음과 같은 예시 답안을 제시했다고 하자. “e^−x의 최대가 1이므로 답은 1이다.” 이 한 줄만으로 미분을 전혀 이해하지 못했다고 단정할 수는 없다. 다만 문제의 함수가 f(x)=xe^−x이고 x≥0이라는 조건을 함께 읽었는지 확인해야 한다. 먼저 “x와 e^−x가 각각 변하므로 곱의 미분을 했는가?”라고 묻고, 학생이 원식에서 어떤 항이 변하는지 직접 표시하게 한다. e^−x만의 최댓값을 구하는 것과 두 인자의 곱인 f(x)의 최댓값을 구하는 것은 다른 문제다.

일계도함수의 부호로 증가와 감소를 직접 표시하기

교사는 결론을 바로 말하기보다 곱의 미분을 적용한 첫 비교까지만 제시한다. f′(x)=e^−x+x(−e^−x)=e^−x(1−x)이다. x≥0에서 e^−x는 항상 양수이므로 f′의 부호는 1−x의 부호와 같다. 이제 학생이 x=1을 기준으로 구간을 나누고, [0,1)에서는 f′(x)>0, (1,∞)에서는 f′(x)<0이라고 직접 적는다. 따라서 함수는 [0,1]에서 증가하고 (1,∞)에서 감소한다. 도함수가 0인 점을 찾는 것만으로 최댓값을 정하는 것이 아니라, 좌우 부호가 양에서 음으로 바뀌는지 확인해야 한다. 이때 f′의 부호는 증가·감소를 판단하는 자료이고, 이계도함수의 부호는 볼록성을 판단하는 자료이므로 서로 바꾸어 쓰지 않게 구분한다. 변곡점 역시 f″(x)=0이라는 사실만으로 정하지 않고 볼록성이 실제로 바뀌는지 확인해야 한다.

끝점 검산과 조건을 남긴 재적용

학생은 위 부호표를 바탕으로 x=1에서 최댓값을 계산한다. f(1)=1·e⁻¹=1/e이고, 정의역의 끝점에서도 f(0)=0이다. [0,∞) 전체에서 0에서 증가한 뒤 x=1 이후 감소하므로 최댓값은 1/e, 그때의 x는 1이다. 끝점 값을 따로 계산한 것은 구간 전체의 최댓값인지 확인하는 검산이며, 특정 수 하나를 대입해 일반적인 성질을 대신하는 과정은 아니다.

다시 적용할 때는 문제 f(x)=xe^−x, x≥2와 필요한 식만 남기고 풀이와 정답은 가린다. 같은 함수라도 정의역 조건이 달라졌다는 점을 먼저 표시하게 한다. f′(x)=e^−x(1−x)에서 x≥2이면 f′(x)<0이므로 허용된 구간 전체에서 감소한다. 따라서 정의역 밖의 정지점 x=1은 후보가 아니며, 왼쪽 끝 x=2에서 최댓값을 갖는다. f(2)=2/e²이므로 정답은 2/e², x=2이다. 학생이 도함수 0을 곧바로 답으로 쓰면 좌우 구간의 부호와 원함수의 좌표를 다시 적게 한다. 이후 식·범위·필수 자료만 남긴 상태에서 “곱의 미분을 했는가?”에 맞는 근거를 고르고 수정 풀이를 완성하는지 확인하면, 표현만 바뀐 문제와 조건 자체가 바뀐 문제를 구별하는 힘까지 이어진다.