청주봉명동 고등수학과외

행렬의 뜻과 연산을 다룰 때는 답의 모양이 비슷하다는 이유만으로 두 곱을 같다고 판단하지 않아야 한다. 다음과 같이 A=[[1,2],[0,1]], B=[[2,0],[3,1]]일 때 BA를 구하고 AB와 비교하는 문제를 생각해 보자. 이때 각 안쪽 목록은 한 행이며, 곱할 수 있는 크기와 행·열의 대응을 먼저 확인해야 한다.

같다고 판단하기 전에 첫 성분을 묻다

이렇게 답했다면 어떤 계산이 생략되었는지 살펴볼 필요가 있다. “AB=BA이고 BA=[[8,2],[3,1]]이다”라는 오답은 행렬의 곱 순서를 바꾸어도 결과가 같다고 본 경우다. 그러나 오답 하나만으로 행과 열의 위치를 혼동했다고 단정할 수는 없다. 성분별 곱으로 이해했는지도 함께 확인해야 한다.

확인 질문은 간단하게 시작한다. BA의 첫 행 첫 성분과 AB의 첫 행 첫 성분이 같은가? 두 값을 직접 계산해 종이에 표시하게 하면, 행렬의 위치를 바꾸어 읽었는지, 또는 대응하는 행과 열 대신 같은 위치의 수끼리 곱했는지를 구분할 수 있다. 결과를 먼저 고치기보다 어느 단계에서 두 판단이 갈렸는지 말하게 하는 것이 중요하다.

행과 열을 표시해 BA를 다시 계산하다

교사는 성분의 위치를 먼저 표시한 뒤 실제 수를 넣는다. BA에서 첫 행은 B의 첫 행 (2,0)이고, 여기에 A의 두 열을 차례로 대응시킨다. 따라서 BA의 첫 성분은 2·1+0·0으로 계산된다. 이 한 단계 뒤에 이어질 두 번째 성분과 둘째 행의 성분은 학생이 직접 완성하게 한다.

학생이 행과 열을 다시 표시해 계산하면 BA=[[2,4],[3,7]]을 얻는다. 이어 같은 방식으로 AB를 계산하면 AB=[[8,2],[3,1]]이다. 그러므로 두 행렬은 서로 다르다. 여기서 중요한 것은 숫자 네 개를 외우는 일이 아니라, 앞에 놓인 행렬의 행과 뒤에 놓인 행렬의 열을 대응해 각 성분을 만든다는 규칙이다.

한 성분 검산 후 순서를 바꾼 문제에 재적용하다

정답은 BA=[[2,4],[3,7]], AB≠BA이다. 두 행렬의 (1,1)성분만 비교해도 BA는 2, AB는 8이므로 같지 않다는 결론을 검산할 수 있다. 이는 특정 숫자를 대입한 부분 검산이며, 모든 행렬에서 곱의 순서가 바뀌지 않는다는 뜻은 아니다. 행과 열의 대응 자체가 달라지므로 일반적으로 AB와 BA는 별도로 계산해야 한다.

이제 문제와 조건만 남긴 상태에서 풀이와 정답을 가리고 다시 시작한다. A=[[1,2],[0,1]], B=[[2,0],[3,1]]일 때 AB를 구하고, 곱의 순서를 뒤집었을 때 값이 같은지도 직접 비교한다. 먼저 첫 성분을 1·2+2·3으로 쓰고, 각 행과 열을 대응해 AB=[[8,2],[3,1]]을 완성한다. 열벡터 (1,0)에 B를 먼저 적용하면 (2,3), 다시 A를 적용하면 (8,3)이 되어 AB의 첫 열과도 일치한다.

마지막으로 교사가 제시한 첫 단계를 지운 뒤, 곱의 순서를 판단하는 식과 이유를 학생이 직접 작성하게 한다. 표현만 바뀐 문제인지, 실제 조건이나 순서가 바뀐 문제인지 구별하면서 다음 계산을 시작해야 한다. 위치가 흔들리면 전체 행렬을 한꺼번에 풀지 말고 한 성분의 행과 열만 선택해 대응을 표시한다. 이렇게 배움노트 고등수학 수업 수업에서 계산·표시·대조를 반복하면 답의 모양보다 빠진 조건을 먼저 찾고, 새 조건에서도 같은 원리를 다시 적용할 수 있다.