논현지구 고등수학과외

“부호가 다른 두 수의 합이 반드시 0인가?”라고 물었을 때, 그렇다고 답했다면 먼저 두 수의 예를 직접 적어 보는 것이 좋다. 3과 -1의 합은 2이고, 5와 -2의 합은 3이므로 부호가 다르다는 사실만으로 합이 0이 되지는 않는다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이런 짧은 확인에서 출발해 학생이 처음 세운 식과 문제의 조건이 실제로 맞는지 대조하도록 한다.

판별식과 근의 부호를 분리해 읽기

문제는 실수 k에 대해 x²+kx−2=0이 양의 근과 음의 근을 하나씩 갖도록 하는 k의 범위를 묻는다. 이렇게 답했다면 “근의 합이 0이어야 하므로 k=0”이라고 쓸 수 있지만, 두 근의 합이 0이라는 조건은 문제에 주어진 적이 없다. 근의 합은 -k이고 근의 곱은 -2이므로, 먼저 각각 어떤 정보를 주는지 나누어 보아야 한다.

판별식 D=b²−4ac는 실근의 존재 여부와 중복 여부를 판단하는 값이다. 이 식에서는 D=k²+8이므로 모든 실수 k에 대해 D>0이다. 따라서 서로 다른 두 실근은 항상 존재한다. 다만 판별식만으로 두 근의 부호까지 결정할 수는 없다. 부호는 근의 합과 곱 또는 실제 근의 형태를 추가로 확인해야 한다.

곱이 음수라는 조건을 직접 계산하기

학생이 다음 계산을 이어 쓴다고 하자. 두 근을 α, β라 하면 근의 곱은 αβ=-2이다. 곱이 음수이므로 두 근은 0이 아니며 같은 부호일 수 없다. 실수인 두 수의 곱이 음수라는 것은 한 수가 양수이고 다른 한 수가 음수라는 뜻이므로, 문제의 부호 조건이 바로 성립한다. 여기서 k의 값은 곱을 바꾸지 않으며, D=k²+8>0도 모든 실수 k에서 유지된다. 따라서 정답은 모든 실수 k이다.

교사는 “판별식이 해의 종류를 말해 주는가, 부호까지 말해 주는가?”, “처음 쓴 -k=0은 문제의 어느 조건에서 나온 식인가?”라고 묻는다. 학생은 판별식, 근의 합, 근의 곱을 각각 적고 실제 계산 결과를 답과 대조한다. 이 과정은 오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않고, 부호 조건과 중복 조건을 혼동했는지 확인하게 한다.

조건을 바꿔 다시 세우고 검산하기

같은 방법을 다른 조건에 적용해 보자. 실수 k에 대해 x²−3x+k=0이 서로 다른 두 양의 실근을 갖는다고 하자. 두 근을 α, β라 하면 α+β=3, αβ=k이다. 두 근이 양수이려면 곱이 양수여야 하므로 k>0이 필요하고, 합도 양수여야 한다. 또한 서로 다른 두 실근을 위해 D=9−4k>0이어야 한다. 두 조건을 함께 적용하면 k<9/4와 k>0이므로 0<k<9/4이다.

이 결론은 근의 곱이 양수라는 사실만으로 충분하지 않다. 두 근이 모두 음수일 수도 있기 때문에 합이 3이라는 조건까지 함께 살펴야 한다. 반대로 첫 문제에서는 곱이 -2로 음수였으므로 합의 값과 관계없이 부호가 서로 달랐다. k=0을 대입하면 두 번째 식은 x(x−3)=0이 되어 0인 근이 생기므로 양의 두 근이라는 조건에서 제외된다.

마지막으로 문제의 식과 조건, 필요한 판별식·근의 합·근의 곱만 남기고 풀이와 정답 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 학생이 처음부터 어떤 식을 세워야 하는지 직접 쓰고, 판별식 하나로 결론을 내리지 않았는지 별도로 표시한다. 이후 조건을 “양의 두 근”에서 “서로 다른 부호의 두 근”으로 바꾸어 합과 곱을 다시 대조하면, 외운 답과 조건에 맞춰 근거를 세운 풀이를 구별할 수 있다.