만수지구 고등수학과외

확률과 통계에서 같은 글자가 떨어지는 경우를 다룰 때는 계산 결과가 조건과 맞는지 먼저 확인해야 한다. A,A,B,C 네 글자를 일렬로 놓되 두 A가 이웃하지 않게 하는 문제에서, 이렇게 답했다면 어떤 조건을 놓쳤는지 바로 단정하지 않고 계산의 대상을 나누어 살핀다. 전체 배열 4!에서 두 A가 이웃하는 배열 3!을 빼 18이라고 했다면, 작은 수부터 직접 나열하거나 같은 배열이 몇 번 겹쳐 세어졌는지 표시해 보는 것이 출발점이다.

18이 나온 식에서 서로 같은 대상을 확인하기

먼저 “전체에서도 두 A를 서로 구별했는가?”라고 묻는다. 자리의 구별과 글자의 구별은 다르다. 네 자리를 배치하는 4!은 두 A를 서로 다른 대상으로 세었을 때의 수이므로, 실제 문자열에서는 A를 구별할 수 없다. 따라서 같은 배열이 두 번씩 반복되어 전체 문자열 수는 4!/2!=12이다. 반면 두 A가 이웃하는 경우에는 AA를 하나의 묶음으로 볼 수 있고, AA·B·C라는 서로 다른 세 대상을 배열하므로 3!=6이다. 여기서 AA 내부의 두 A를 다시 2가지로 세면 안 된다.

학생에게는 전체 계산과 이웃 계산을 각각 적고, ‘반복을 허용한 선택인지’, ‘같은 대상을 구별했는지’를 옆에 표시하게 한다. 4!/2!과 3!이 같은 기준으로 세어진 것인지 비교한 뒤, 18이라는 값이 실제 조건을 만족하는 문자열 수인지 직접 대조한다. 한 오답만으로 원인을 정하지 않고, 두 A를 구별한 흔적과 중복 횟수를 함께 확인해야 한다.

조건을 반영해 떨어지는 배열을 다시 세기

수정할 때는 전체에서 이웃하는 경우를 빼되, 먼저 같은 글자를 반영한다. 전체는 12개, 이웃하는 배열은 6개이므로 두 A가 이웃하지 않는 배열은 12−6=6개이다. 이 결과는 단순한 수치 대입이 아니라, 전체 배열이 ‘이웃함’과 ‘이웃하지 않음’으로 빠짐없이 나뉜다는 조건에 근거한다. 별도로 B,C를 먼저 놓으면 순서는 2가지이고, 네 자리 사이의 세 틈 중 A를 넣을 두 틈을 고르는 방법은 3C2이다. 따라서 2·3C2=6으로 다시 확인된다.

이처럼 배움노트 고등수학 수업 수업에서는 식을 먼저 외우기보다 어떤 대상을 구별하고 어떤 배열을 제외했는지 학생이 말과 표시로 남기게 한다. 두 계산이 같은 6을 가리키는지 비교하고, 18은 두 A를 구별한 전체 4!을 사용했기 때문에 실제 문자열 조건과 맞지 않는다고 정리한다.

풀이를 가린 채 이웃하는 경우까지 재적용하기

다음에는 풀이와 정답을 가리고 A,A,B,C 네 글자와 ‘두 A가 이웃한다’는 조건, 그리고 작은 배열을 직접 나열해 검산할 수 있다는 자료만 남긴다. 학생은 AA를 하나로 묶어 서로 다른 세 대상 AA,B,C를 만든 뒤 3!=6을 구성해야 한다. AA 내부 순서는 하나뿐이며, 묶음의 위치 세 곳과 B,C의 순서 두 가지를 곱해도 6이다.

이 과정에서는 앞 문제의 문장만 바꾼 것인지, 조건 자체가 바뀐 것인지 구별한다. 앞 문제는 두 A가 떨어져야 했고, 이번 문제는 두 A가 붙어야 하므로 같은 글자의 중복을 처리하는 방법은 유지하되 세는 범위가 달라진다. 학생이 풀이 순서를 보지 않고 조건에 맞는 식을 세웠는지, 직접 만든 배열과 검산 결과가 일치하는지 확인한 뒤, 다음에는 같은 글자가 세 개 이상일 때도 중복 횟수와 묶음 조건을 분리해 점검한다.