남촌동 고등수학과외

거리의 제곱과 거리를 같게 둔 답안

포물선의 방정식을 구하는 문제에서 정답만 맞히는 것보다 먼저 살펴볼 부분은 식을 세운 근거다. 초점 F(1,0), 준선 x=−1인 포물선을 생각해 보자. 이렇게 답했다면 어떤 점 (x,y)에서 초점까지의 거리와 준선까지의 거리를 비교했는지 말로 설명해 보아야 한다. 예를 들어 (x−1)²+y²=x+1이라고 썼다면, 왼쪽은 거리의 제곱인데 오른쪽은 준선까지 거리로 보이는 식이므로 두 양을 바로 같게 둔 셈이다. 이 한 번의 오답만으로 개념을 단정하지 않고, 축의 방향과 초점·준선의 위치를 함께 확인한다.

양변의 의미를 맞춘 뒤 학생이 완성하는 풀이

먼저 “양변 모두 거리인가, 양변 모두 거리의 제곱인가?”라고 묻는다. 초점까지 거리는 √((x−1)²+y²)이고, 점 (x,y)에서 직선 x=−1까지의 거리는 |x+1|이다. 따라서 포물선의 정의는 √((x−1)²+y²)=|x+1|로 시작한다. 교사는 이 비교까지만 제시하고, 학생이 양변의 의미를 표시한 뒤 다음 계산을 직접 적게 한다. 양변은 모두 비음수인 거리이므로 제곱해도 동치가 유지된다. 그러면 (x−1)²+y²=(x+1)²이고, 전개와 정리를 거쳐 y²=4x를 얻는다.

학생은 수정 과정에서 제곱된 좌표의 부호를 빠뜨리지 않았는지도 확인한다. y²=4x는 표준형 y²=4px와 비교할 때 p=1인 식이며, 축은 x축 방향이고 꼭짓점은 원점이다. 도출한 식이 정의와 맞는지는 조건을 대조해 검산한다. y²=4x에서 x≥0이므로 오른쪽이 음수가 되지 않고, 원래 거리식으로 되돌렸을 때도 두 거리가 같아진다. 특정 좌표를 하나 대입하는 것은 전체 식의 근거가 아니라 부분 검산으로만 사용한다.

가린 풀이에서 다른 질문으로 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남긴 상태에서 풀이와 정답을 가리고 시작한다. 포물선 y²=8x 위에서 x=2인 모든 점을 구하는 경우, 거리 정의로 방정식을 만드는 문제와 이미 주어진 방정식에 대응하는 점을 찾는 문제를 구별해야 한다. x=2를 대입하면 y²=16이므로 y=±4를 남긴다. 따라서 점은 (2,4), (2,−4)이고, 두 점이 빠지지 않았는지 축 대칭으로 표시한다.

두 점 모두 y²=16=8·2를 만족한다. 이 식은 y²=4px와 비교해 p=2이므로 초점은 (2,0), 준선은 x=−2이다. 각 점에서 초점까지의 거리는 4이고 준선까지의 거리도 4이므로 거리 정의와 일치한다. 다음 확인에서는 대표 문제의 식과 범위만 남겨 두고, “양변 모두 거리인가, 양변 모두 거리의 제곱인가?”에 맞는 근거를 고른 뒤 수정 풀이를 다시 쓰는지 본다. 배움노트 고등수학 수업에서도 공식의 p를 바로 읽는 데서 멈추지 않고, 한 점에서 초점과 준선까지의 거리를 직접 계산해 식의 의미를 재적용하도록 점검한다.