서창동 고등수학과외

정규분포 문제에서 “양쪽 구간을 합해야 한다”라고 말할 수 있어도, 실제 식에 적용하지 못하면 답은 달라진다. 배움노트 고등수학 수업에서는 먼저 문제의 조건과 기호가 뜻하는 구간을 말로 바꾸고, 그 구간을 확률식에 옮기는 과정을 확인한다. 다음 조건을 보자. X~N(0,1), P(0≤X≤1)=0.3413일 때 P(|X|≤1)을 구하는 문제다.

|X|≤1을 구간으로 바꾸고 처음 답과 대조하기

|X|≤1은 절댓값의 정의에 따라 -1≤X≤1을 뜻한다. 따라서 0에서 1 사이의 오른쪽 구간만 묻는 것이 아니라, -1에서 0 사이와 0에서 1 사이를 모두 포함한다. 이렇게 답했다면 0.3413이라고 한쪽 확률만 쓴 셈이다. 이때 곧바로 개념을 확정하지 않고 “|X|≤1을 X의 구간으로 쓰면 어떻게 되는가?”, “처음 적은 0≤X≤1과 같은 범위인가?”라고 확인한다. 학생은 절댓값 조건을 직접 수직선에 표시하고, 자신이 쓴 식의 양 끝점을 대조한다.

또한 X~N(0,1)에서 평균은 0, 분산은 1이며 표준편차는 1이다. 일반적으로 X~N(μ,σ²)이면 Z=(X−μ)/σ로 표준화하므로, 표준편차와 분산을 혼동했는지도 확인할 수 있다. 이 문제는 이미 X가 표준정규분포를 따르므로 주어진 구간을 그대로 비교하면 된다. 핵심은 표에서 숫자를 찾기 전에 확률 영역을 먼저 정하는 것이다.

좌우 대칭을 식으로 옮겨 직접 계산하기

표준정규분포는 0을 중심으로 좌우 대칭이다. 그러므로 -1≤X≤0의 확률과 0≤X≤1의 확률은 같다. 교사는 대칭축과 두 구간을 표시하고, 주어진 P(0≤X≤1)=0.3413을 어느 부분에 놓는지 보여 준다. 계산과 답의 선택은 학생이 직접 하도록 하여, 학생은 왼쪽 구간도 0.3413임을 적고 두 부분을 더한다.

P(|X|≤1)=P(-1≤X≤0)+P(0≤X≤1)=0.3413+0.3413=2×0.3413=0.6826이다. 이 값은 구간의 양 끝을 포함해도 연속확률분포에서는 확률이 달라지지 않는다. 검산으로 바깥 두 꼬리의 합을 보면 1−0.6826=0.3174이므로, 안쪽 구간과 바깥 구간의 확률을 합했을 때 전체가 1이 된다. 단순히 숫자를 두 배로 만든 것이 아니라, 대칭인 두 구간을 확인한 뒤 계산한 결과다.

풀이를 가린 뒤 같은 기준으로 다시 적용하기

이제 문제와 필요한 조건만 남기고 풀이와 정답을 가린다. X~N(0,1), P(0≤X≤1)=0.3413일 때 P(-1≤X≤0)을 구하게 한다. 학생은 먼저 표준정규분포가 0을 중심으로 좌우 대칭이라는 근거를 적고, 주어진 오른쪽 구간과 구하려는 왼쪽 구간이 대칭인지 직접 표시한다. 따라서 P(-1≤X≤0)=P(0≤X≤1)=0.3413이다. 두 구간이 대칭이므로 확률이 같고, 확률값도 비음수라는 점으로 결과를 확인한다.

마지막에는 양쪽 구간을 합하는 이유를 “절댓값 조건을 전체 구간으로 바꾸고, 0을 기준으로 대칭인 부분을 각각 확인한 뒤 더한다”라고 학생 자신의 말로 다시 적게 한다. 표현만 바뀐 문제인지, 실제 조건과 구하는 구간이 달라진 문제인지 구분하면서 수직선 표시와 식을 함께 남긴다. 표에서 숫자만 찾지 않고 구간을 먼저 정하는 기준이 유지되는지 확인하면, 다음 정규분포 문제에서도 같은 오류를 줄일 수 있다.