간석동 고등수학과외

지수방정식과 지수부등식을 풀 때는 지수를 바로 비교하기 전에 밑의 범위와 부등호의 방향을 먼저 살펴야 한다. 배움노트 고등수학 수업 수업에서 다음과 같은 문제를 만났다고 하자. 실수 $x$에 대해 $(1/2)^x>1/8$을 풀어라. $1/8=(1/2)^3$으로 바꿀 수 있으므로, 핵심은 밑 $1/2$가 0과 1 사이에 있다는 조건이다.

예시 오답에서 빠진 판단 찾기

이렇게 답했다면 풀이에는 $x>3$이라는 결론만 남아 있는 셈이다. 하지만 이 한 번의 오답만으로 지수 개념 전체가 부족하다고 단정할 수는 없다. 먼저 “$(1/2)^2$와 $(1/2)^3$ 중 어느 쪽이 큰가?”라고 묻고, 학생이 두 값을 직접 계산해 표시하게 한다. $(1/2)^2=1/4$, $(1/2)^3=1/8$이므로 지수가 커질수록 함수값은 작아진다는 사실을 확인할 수 있다. 이어 처음 식을 같은 밑으로 바꾸는 과정에서 $1/8$을 $(1/2)^3$으로 나타냈는지, 또는 증가하는 함수처럼 부등호를 처리했는지를 나누어 살핀다.

밑의 감소성을 반영해 수정하기

같은 밑의 지수함수는 일대일이므로 등식에서는 지수를 비교할 수 있다. 그러나 부등식에서는 밑이 1보다 큰지, 0과 1 사이인지 먼저 확인해야 한다. 여기서는 밑 $1/2$가 0과 1 사이이므로 함수가 감소한다. 따라서 학생은 설명을 그대로 반복하기보다 다음 식을 직접 작성한다.

$(1/2)^x>(1/2)^3 \Rightarrow x<3$.

정답은 $x<3$이다. $x=3$을 대입하면 양변이 모두 $1/8$이 되어 등호가 되므로 $x=3$은 포함되지 않는다. 또 감소하는 성질은 특정 한 점의 계산이 아니라 모든 실수 구간에서 성립하므로, 전체 해가 $x<3$이라는 방향을 뒷받침한다. 학생이 경계값 $3$을 먼저 표시한 뒤 등호가 허용되는지 직접 대조하게 하면 부등호의 방향과 끝점 처리를 함께 확인할 수 있다.

조건을 바꾼 문제에 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남겨 둔 채 풀이와 정답을 가리고, 실수 $x$에 대해 $3^{2x-1}\le9$를 풀게 한다. 학생은 먼저 $9=3^2$, 밑 $3>1$을 표시한 뒤 $2x-1\le2$를 작성하고 $x\le3/2$를 얻는다. 해는 $(-\infty,3/2]$이며, $x=3/2$에서 양변이 모두 $9$이므로 경계값은 포함된다. 앞 문제와 달라진 점은 밑이 $0$과 $1$ 사이가 아니라 $1$보다 커서 부등호 방향을 바꾸지 않는다는 것이다. 마지막에는 기본 문제의 정답을 보이지 않은 상태에서 제외 조건과 경계값부터 표시하게 하고, 새 문제에서 달라진 조건을 한 문장으로 쓰게 한다. 지수를 바로 비교하기 어렵다면 양변을 같은 밑으로 나타낸 뒤 그 밑의 증가·감소를 먼저 확인하는 순서를 다시 적용한다.