대동 고등수학과외

답을 가린 기본 문제에서 풀이 근거 세우기

미적분Ⅰ의 다항함수 미분을 연습하며, 앞서 확인한 답과 풀이를 가린 상태에서 다음 문제를 다시 시작한다고 하자. 문제는 f(x)=(x²−1)(x²+1)의 도함수를 구하는 것이다. 식의 두 인수가 곱으로 묶여 있지만, 다항식 전체를 하나의 함수로 보고 구조를 정확히 읽어야 한다. 이렇게 답했다면 학생은 먼저 각 인수의 미분값을 곱해 (2x)(2x)=4x²라고 적을 수 있다. 배움노트 고등수학 수업에서는 이 결과만 보고 원인을 단정하지 않고, 학생이 어떤 규칙을 떠올렸는지부터 확인한다.

두 인수를 미분한 값끼리 곱하는 것이 곱의 미분법인가

“두 인수를 미분한 값끼리 곱하는 것이 곱의 미분법인가?”라고 묻고, 학생이 말로 설명한 뒤 식에 표시하게 한다. 곱의 미분법은 두 미분값만 곱하는 규칙이 아니라, 첫 번째 인수의 미분값과 두 번째 인수, 그리고 첫 번째 인수와 두 번째 인수의 미분값을 각각 곱해 더하는 방식이다. 따라서 f′(x)=2x(x²+1)+(x²−1)2x로 세워야 한다. 이때 지수를 내리는 규칙을 모르는지, 아니면 합과 곱의 구조를 잘못 읽는지 구분할 수 있다. 각 항의 지수와 계수를 직접 표시하고, 두 항이 왜 더해지는지 설명하게 하면 단순 암기와 구조 이해를 구별하기 쉽다.

복잡하지 않은 다항식은 다른 방법으로도 대조할 수 있다. 원래 식을 전개하면 f(x)=x⁴−1이므로 항별 미분으로 f′(x)=4x³을 얻는다. 학생이 후보 답을 고른 뒤에는 원래 조건과 대조해야 한다. 곱의 미분식도 정리하면 2x(x²+1)+(x²−1)2x=2x³+2x+2x³−2x=4x³이다. 여기서 4x²는 실제 도함수로 얻어진 식이 아니며, 원함수의 차수와도 맞지 않는다. 학생이 직접 전개하고, 부호와 같은 항의 소거를 표시한 뒤 두 계산 결과를 비교하도록 한다.

수정 풀이를 새 조건에 옮겨 적용하기

확인 질문만 남긴 재시도에서 학생이 처음부터 필요한 식을 세우게 하면, 학생은 f′(x)=4x³이라고 수정해 적을 수 있다. 정답을 외운 것인지 확인하려면 표현만 바꾼 식과 조건이 실제로 달라진 식을 구별해야 한다. 이번에는 문제와 필수 조건만 남기고 풀이, 정답, 유도 표시는 가린 채 f(x)=x²(x+1)의 도함수를 구하게 한다. 곱을 전개한 뒤 다항식으로 미분하는 방법을 유지하되, 전개 과정에서 없어지는 항이 있는지 먼저 정리한다.

곱의 미분법을 적용하면 f′(x)=2x(x+1)+x²·1이다. 첫 항은 앞의 x²을 미분한 2x에 뒤의 인수 x+1을 그대로 곱한 것이다. 정리하면 2x²+2x+x²=3x²+2x가 된다. 원함수를 x³+x²로 전개한 뒤 미분해도 3x²+2x이므로 두 방법이 일치한다. 다음 점검에서는 같은 문제의 식만 바꾸는 데 그치지 않고, 인수의 차수나 부호가 달라져 전개 결과가 달라지는 문제를 조건과 함께 남겨 다시 풀게 한다. 학생이 공식 적용이 불안정할 때는 전개한 식과 직접 세운 곱의 미분식을 대조해 같은 도함수가 나오는지 확인한다.