대동 수학과외

2³×2⁴에서 지수를 곱한 오답

다음 문제에서 학생이 “2³×2⁴은 2¹²이다.”라고 답했다고 가정해 보겠습니다. 문제는 2³×2⁴을 2의 거듭제곱으로 나타내라는 것이므로, 먼저 밑과 지수가 각각 무엇을 뜻하는지 확인해야 합니다. 2³은 2를 세 번 곱한 수이고, 2⁴은 2를 네 번 곱한 수입니다. 따라서 두 수를 곱하면 (2×2×2)×(2×2×2×2)가 됩니다.

이때 바뀌지 않는 밑 2가 모두 일곱 개 이어져 있으므로 결과는 2⁷입니다. 2¹²이라는 답은 지수 3과 4를 곱해 12를 만든 판단에서 나온 것으로 보이지만, 같은 밑의 거듭제곱을 곱할 때 이 문제에서 세어야 하는 것은 지수의 곱이 아니라 밑이 반복된 전체 횟수입니다. 다만 오답 하나만으로 학생이 거듭제곱의 뜻을 전혀 모른다고 단정할 수는 없습니다.

어느 단계에서 판단이 달라졌는지 확인하기

교사는 먼저 “2³에서 3은 무엇을 나타내고, 2⁴에서 4는 무엇을 나타내나요?”라고 묻습니다. 학생이 각각 2를 곱하는 횟수라고 설명한다면 개념을 말로는 이해하고도 두 거듭제곱을 결합하는 과정에서 지수를 잘못 처리했을 가능성이 있습니다. 반대로 지수를 2의 값처럼 다루거나 2³과 2⁴의 의미를 설명하지 못한다면, 계산을 고치기 전에 거듭제곱의 정의부터 다시 확인해야 합니다.

학생이 이유를 바로 말하지 못하더라도 교사는 한 부분을 함께 풀어 볼 수 있습니다. 2³을 2×2×2로 펼쳐 쓰고, 2⁴도 2×2×2×2로 펼쳐 쓴 뒤 두 식을 이어 보입니다. 그런 다음 “같은 밑 2가 모두 몇 번 등장했나요?”라고 하여, 학생이 문제의 조건과 지수의 의미를 연결하도록 돕습니다.

설명 뒤 직접 수정 풀이와 검산

학생은 처음 적은 2¹²을 그대로 고치는 데서 멈추지 않고, 정답과 풀이를 가린 상태에서 문제 2³×2⁴만 다시 보고 풀이를 시작합니다. 먼저 2³=2×2×2, 2⁴=2×2×2×2로 바꾸어 적습니다. 이어 같은 밑 2가 모두 일곱 개이므로 2⁷이라고 결론을 냅니다. 이때 학생이 “3과 4를 곱하지 않고, 같은 밑을 곱하면서 반복된 횟수 3+4를 세었다.”라고 설명할 수 있는지 확인합니다.

검산은 같은 풀이를 다시 반복하는 대신 수의 값으로 확인합니다. 2³은 8, 2⁴은 16이므로 8×16=128입니다. 한편 2⁷도 128이므로 수정한 결과가 원래 곱셈의 값과 일치합니다. 학생이 이 검산까지 혼자 이어 가지 못한다면, 거듭제곱의 뜻이 막힌 것인지 곱셈 계산에서 막힌 것인지 나누어 살펴보고 필요한 단계만 다시 설명합니다. 다른 방식으로 풀었더라도 문제의 조건과 계산이 맞으면 그 풀이를 인정할 수 있습니다.

새 조건에 적용하고 다음 판단을 확인하기

새 문제로 a³×a⁶을 간단히 하라를 제시합니다. 이번에는 밑이 2가 아니라 같은 문자 a라는 점이 바뀌었지만, 같은 밑의 거듭제곱을 곱한다는 구조는 같습니다. a³에는 a가 세 번, a⁶에는 a가 여섯 번 곱해져 있으므로 모두 아홉 번 이어져 a⁹이 됩니다. 학생이 이전 문제의 숫자를 외워 쓰는 것이 아니라, 같은 밑의 반복 횟수를 세어 a⁹을 얻는지 확인합니다.

필요하다면 2³+2³과 2⁶을 비교하는 문제도 선택해 볼 수 있습니다. 2³+2³은 8+8=16이고 2⁶은 64이므로 서로 다릅니다. 지수의 합을 사용하는 방법은 같은 밑을 곱할 때 적용되는 것이지, 덧셈에도 그대로 적용되는 것은 아닙니다. 다음 수업에서는 학생이 수정 풀이를 가리고 대표 문제와 새 적용 문제를 다시 해결한 뒤, 왜 지수를 더했는지 말하고 다른 연산에서는 같은 결론을 사용할 수 없는 이유까지 구분하는지를 확인합니다.