천동 고등수학과외

“앞앞뒤도 정확히 한 번에 포함되는가?”

“앞앞뒤도 ‘정확히 한 번’에 포함되는가?”라고 물었을 때, “앞면이 두 번이니 포함되지 않는다”라고 답했다면 처음부터 사건의 뜻을 다시 확인해야 한다. 공정한 동전을 독립적으로 세 번 던질 때 각 결과는 앞뒤앞처럼 순서를 구별해 적는다. 따라서 앞면이 정확히 한 번이라는 말은 앞면이 두 번 나오는 경우가 아니라, 앞면이 들어간 자리가 한 곳뿐인 경우를 뜻한다. 앞앞뒤는 앞면이 두 번이므로 원하는 사건에 포함되지 않는다.

이때 오답을 하나만 보고 원인을 단정하지 않는다. “처음 쓴 식에서 7/8은 어떤 사건의 확률인가?”, “뒤뒤뒤를 제외한 모든 결과를 세고 있는가?”, “앞앞뒤와 같은 결과들의 가능성이 같은가?”라고 차례로 확인한다. 학생은 자신의 식과 표본공간 목록을 나란히 적어, 사건에 포함한 결과에 표시하고 중복되거나 빠진 결과가 없는지 직접 대조한다. 여사건을 사용했다면 무엇의 여사건인지 문장으로 먼저 써 본다. ‘정확히 한 번’의 여사건은 앞면이 한 번도 없거나 두 번 이상인 결과 전체이지, 단순히 ‘모두 뒤’ 하나로 바로 정해지는 것은 아니다.

앞면의 자리를 고르고 나머지를 뒤로 고치기

수학적 확률에서 단순한 개수의 비를 사용할 때는 근원사건들이 같은 가능성을 가져야 한다. 공정한 동전을 독립적으로 세 번 던지면 앞뒤의 순서가 있는 전체 결과는 2³=8개이고, 각각의 가능성은 같다. 원하는 경우는 앞면의 자리를 세 자리 중 하나로 고르는 방법이다. 첫째 자리가 앞이면 앞뒤뒤, 둘째 자리가 앞이면 뒤앞뒤, 셋째 자리가 앞이면 뒤뒤앞이 된다. 교사는 ‘앞면의 자리 세 곳 선택’이라는 기준까지만 보여 주고, 실제 계산과 답의 선택은 학생이 이어서 하도록 한다.

학생이 직접 정리하면 정확히 한 번의 경우의 수는 3이고, 각 결과의 확률은 (1/2)³이므로 3·(1/2)³=3/8이다. 답을 쓴 뒤에는 세 결과가 정말 조건을 만족하는지 확인한다. 앞뒤뒤, 뒤앞뒤, 뒤뒤앞만 해당하며 앞앞뒤는 앞면이 두 번이어서 제외된다. 따라서 정답은 3/8이다. 여기서 3을 곱한 이유는 같은 확률의 서로 다른 결과 세 개를 세었기 때문이고, 임의의 한 결과를 계산한 (1/2)³은 독립 시행과 공정성에 근거한다.

조건을 남긴 채 다시 적용하기

이제 문제와 조건만 남기고 풀이와 정답, 유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 공정한 동전을 독립적으로 세 번 던질 때 적어도 한 번 앞면이 나올 확률을 구한다. 학생은 먼저 ‘적어도 한 번’과 ‘정확히 한 번’을 구별하고, 여사건이 앞면이 한 번도 없는 뒤뒤뒤 하나임을 적는다. 그러면 1−(1/2)³=7/8이다. 직접 세어도 앞면이 한 번인 결과 3개, 두 번인 결과 3개, 세 번인 결과 1개로 모두 7개이므로 7/8과 일치한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 표현만 바뀐 문제인지 조건 자체가 바뀐 문제인지도 구분하며, 답변과 풀이가 함께 맞을 때 다음 점검으로 넘어간다. 가능성의 단위를 섞었다면 모든 결과를 같은 순서의 목록으로 통일해 다시 확인한다.