가양동 고등수학과외

“후보 2, −1 중 2만 남긴다.” 이 문장을 먼저 적어 보게 한다. 제곱한 식에서 나온 두 값을 모두 답으로 확정하지 않고, 왜 하나를 제외해야 하는지 원래 식으로 돌아가 확인하는 과정이 핵심이다. 배움노트 고등수학 수업에서는 계산 결과만 맞히는 데서 그치지 않고, 제곱으로 생긴 불필요한 해를 구별하는 판단을 풀이에 남기도록 연습한다.

제곱 뒤에 생긴 두 후보와 빠진 판단

문제는 실수 x에 대해 √(x+2)=x를 풀라는 것이다. 이렇게 답했다면 먼저 양변을 제곱하여 x+2=x²을 얻고, x²−x−2=0에서 (x−2)(x+1)=0을 정리해 x=2, −1을 모두 답이라고 적었을 수 있다. 계산 자체는 여기까지 맞지만, 제곱은 원래 식과 항상 같은 조건을 보장하지 않는다. 양변을 제곱하는 과정에서 원래 식에 없던 후보가 들어올 수 있기 때문이다.

오답 하나만 보고 원인을 단정하지 않기 위해 “원래 오른쪽 x는 어떤 부호여야 하는가?”라고 묻는다. 왼쪽의 제곱근은 정의되기만 하면 항상 비음수이므로, 원래 식이 성립하려면 오른쪽 x도 x≥0이어야 한다. 이 조건과 근호 안의 x+2≥0을 각각 적었는지 확인한다. 학생이 두 조건을 말로만 답하지 않고 다음처럼 직접 작성하게 한다. √(x+2)≥0, 따라서 x≥0이며, x+2≥0이다.

원식에 대입해 불필요한 해를 걸러내기

교사는 “제곱한 식에서는 후보를 얻었을 뿐, 아직 원래 식의 해라고 확정하지 않았다”고 설명한다. 후보 2와 −1을 원래 식에 각각 넣어 좌변과 우변을 대조하게 한다. x=2이면 √(2+2)=√4=2이므로 2=2가 성립한다. 반면 x=−1이면 √(−1+2)=√1=1인데 오른쪽은 −1이어서 1≠−1이다. 따라서 −1은 제곱한 식은 만족하지만 처음 무리식은 만족하지 않는 불필요한 해다.

학생의 수정 풀이는 x+2=x², (x−2)(x+1)=0, 후보 x=2, −1까지 적은 뒤 “원식에서 좌변은 비음수이므로 x≥0”을 확인하고 후보 2, −1 중 2만 남긴다. 마지막에는 √4=2라고 검산 문장을 쓴다. 이때 x≥0이라는 조건은 단순한 요령이 아니라 원래 등식의 양변 부호를 비교해 얻은 성립 조건이다.

표현이 바뀐 식에서 조건을 다시 적용하기

같은 확인 방법이 식의 모양이 조금 달라졌을 때도 유지되는지 살펴본다. 실수 x에 대해 √(x+2)=x+2를 풀 때는 오른쪽이 x가 아니라 x+2이므로 허용되는 범위와 후보의 결과가 달라질 수 있다. t=x+2라고 두면 근호의 정의 조건에 따라 t≥0이고, 식은 √t=t가 된다. 양변을 제곱하여 t=t², 즉 t(t−1)=0을 얻으므로 t=0 또는 1이다. 다시 x를 계산하면 x=−2, −1을 얻는다.

두 값을 원래 식에 넣으면 x=−2에서는 √0=0, x+2=0이고, x=−1에서는 √1=1, x+2=1이므로 모두 성립한다. 이는 앞 문제의 표현만 바꾼 것이 아니라 오른쪽 식 자체가 달라져 부호 조건과 결과가 달라진 경우다. 대표 문제의 풀이와 정답을 가린 상태에서 학생이 계산 결과, 근호의 정의 조건, 원식 대입 검산을 각각 적게 한다. 제곱 뒤 후보를 바로 확정하는지, 필요한 조건을 남긴 뒤 원래 근호식에 직접 대입하는지 다음 풀이에서 다시 확인한다.