삼성동 고등수학과외

예시 답안에 “기본형이므로 1.”이라고 적혀 있다면, 먼저 결론을 지우기보다 어떤 모양을 보고 그렇게 판단했는지 확인한다. 다룰 문제는 $\lim_{h\to0}\frac{e^{3h}-1}{h}$이고, 사용할 기본 극한은 $\lim_{u\to0}\frac{e^u-1}{u}=1$이다. 분자 안의 입력이 $h$가 아니라 $3h$로 바뀌었으므로, 같은 기본 극한을 적용하려면 분모도 함께 바꾸어야 한다.

“기본형이므로 1”이라는 답에서 확인할 것

이렇게 답했다면 기본 극한의 값 1만 기억하고 입력의 배율을 빠뜨린 경우인지, 또는 분모를 $3h$로 바꿀 때 생기는 상수를 처리하지 못한 경우인지 나누어 살핀다. “분모를 $3h$로 바꾸면 식 앞에는 어떤 배율이 필요한가?”라고 묻고, 학생이 원래 식과 바뀐 식을 직접 나란히 적게 한다. 오답 한 줄만으로 원인을 확정하지 않고, $3h\to0$인지, 분자와 분모의 입력이 같은지 학생 스스로 표시하게 한다.

새 변수로 기본 극한을 만든 수정 풀이

교사는 처음 비교까지만 제시한다. $\frac{e^{3h}-1}{h}=3\cdot\frac{e^{3h}-1}{3h}$로 쓰면 $u=3h$일 때 $u\to0$이고, 뒤의 분수는 기본 극한의 형태가 된다. 남은 계산과 결론은 학생이 직접 적는다. 학생이 “극한은 3”이라고 수정했다면, 왜 1이 아니라 3이 남는지 식의 앞부분을 가리키며 설명하게 한다. 정답은 3이며, $f(x)=e^{3x}$의 $x=0$에서의 미분계수인 차분몫과도 일치한다. 이는 한 수치 대입에 의존한 판단이 아니라 지수함수의 미분 공식과 기본 극한의 변형으로 확인할 수 있다.

표현 변경과 조건 변경을 구별하는 재적용

이제 문제, $h\to0$이라는 조건, 기본 극한의 식만 남기고 풀이·정답·유도 표시는 가린 상태에서 다시 시작한다. 먼저 같은 원리를 다른 함수에 적용한다. $\lim_{h\to0}\frac{\ln(1+2h)}{h}$에서 근방의 $1+2h>0$이므로 로그가 정의되고, $\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1$을 사용할 수 있다. 학생은 $u=2h$를 적은 뒤 $\frac{\ln(1+2h)}{h}=2\cdot\frac{\ln(1+2h)}{2h}$로 바꾸어 극한이 2임을 완성한다. 이는 식의 표현만 달라진 재적용이 아니라 지수식에서 로그식으로 함수와 정의 조건이 바뀐 사례다. $g(x)=\ln(1+2x)$의 $x=0$ 미분계수 $2/(1+0)=2$와도 일치한다. 배움노트 고등수학 수업에서는 마지막 줄을 비워 두고 학생이 바른 결론과 이유를 채우게 한다. 다음에는 바뀐 조건을 먼저 표시하고, 배율을 놓치면 새 변수와 분모를 같은 형태로 만든 뒤 남은 상수를 따로 표시하는지 점검한다.